Najlepsza odpowiedź
Trudno jest wybrać jedno, więc zostawię ci wybór 🙂
- Tożsamość Eulera
Równanie łączy pięć najważniejszych liczb w matematyce . Są to:
- 1 – podstawa wszystkich innych liczb
- 0 – pojęcie nicości
- pi – liczba definiująca okrąg
- e – liczba stanowiąca podstawę wykładniczego wzrostu
- i – „urojony” pierwiastek kwadratowy z -1
2. Równanie pola Einsteina ( podsumowanie dziesięciu równań)
Fizyk John Wheeler podsumował to zwięźle: „Czasoprzestrzeń mówi materii, jak się poruszać ; materia mówi czasoprzestrzeni, jak należy zakrzywiać. ”
Równanie Einsteina może nam powiedzieć, jak nasz wszechświat zmieniał się w czasie, i daje przebłyski najwcześniejszego momentu s stworzenia. Nic dziwnego, że jest ulubieńcem wielu naukowców.
3. Równanie falowe
Równanie falowe opisuje sposób rozchodzenia się fal. Odnosi się do wszystkich rodzajów fal, od fal wodnych po dźwięki i wibracje, a nawet fale świetlne i radiowe.
Jest to dziecko z plakatu dla idei, że zasady matematyczne rozwinęły się w jednym obszarze lub we własnym sake, może mieć istotne zastosowania w innych obszarach. Jego piękno wynika z połączenia tych atrybutów: elegancji, zaskoczenia, intelektualnej głębi, użyteczności.
4. Mapa logistyczna
Mapa logistyczna jest jednym z klasycznych przykładów teorii chaosu.
można podsumować w następujący sposób: bardzo złożone zasady mogą wynikać z bardzo prostych reguł.
Równanie można wykorzystać do modelowania wielu procesów naturalnych, na przykład tego, jak populacja zwierząt rośnie i kurczy się w czasie.
Sposób zachowania populacji okazuje się niezwykle wrażliwy na wartość r, w sprzeczny z intuicją sposób. Jeśli r wynosi od 0 do 1, populacja zawsze umiera, ale jeśli wynosi od 1 do 3, populacja zbliży się do ustalonej wartości – a jeśli przekracza 3,56995, populacja staje się szalenie nieprzewidywalna.
Te zachowania są opisywane przez matematyków jako „chaotyczne” i nie są tym, czego byśmy instynktownie oczekiwali. Ale wszystkie wyłaniają się z równania, które jest matematycznie dość proste.
Na razie to wszystko.
Jeśli myślisz, że przegapiłem jakieś równanie, powiedz mi: dodam to w odpowiedzi 🙂
Odpowiedź
Widzę teraz wiele podstawowych problemów obliczeniowych związanych z PEMDAS, ale jestem pewien, że jest to elementarna matematyka 99\% ludzi, którzy uważają, że są naprawdę dobrzy z matematyki, może mieć rację. Zauważyłem również równanie Boba Hocka, które jest bardzo twórcze, ale nie sądzę, aby było to aż tak trudne do udowodnienia.
Problem, który tu zamieszczam, dotyczy problemu 15 AIME II z 2006 roku, który wygląda na bardzo skomplikowaną, ale sprowadza się do czegoś całkiem prostego dzięki twórczej relacji:
Zakładając, że x, y i z są liczbami rzeczywistymi, które spełniają wymagania
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
i że x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, gdzie m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, a n jest niepodzielna przez kwadrat dowolnej liczby pierwszej, znajdź m + n
Na pierwszy rzut oka rozwiązujemy zadanie z algebry, w którym musimy znaleźć sumę. Pierwszą myślą mogłoby być podniesienie równań do kwadratu, aby w pewnym stopniu pozbyć się pierwiastków kwadratowych, ale taka metoda jest wyraźnie brudna.
Zauważ, że nie musimy rozwiązywać dla każdego z x, y , z osobno i potrzebujemy tylko ich sumy, możemy rozważyć dodanie trzech podanych równań, co daje
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Mamy to, co potrzeba po jednej stronie, ale po drugiej stronie nie wygląda na to, żeby coś się anulowało, więc nie wydaje się to właściwe.
Trzecim pomysłem byłoby uwzględnienie wyrażenia wewnątrz pierwiastków kwadratowych za pomocą różnicy kwadratów ponieważ wszystkie podane ułamki są idealnymi kwadratami. W ten sposób
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
itd., ale mimo to nie ma jasnej drogi manipulować czynnikami w jakikolwiek użyteczny sposób. Krótko mówiąc, możemy próbować rozwiązywać tylko jedną zmienną na raz, ale nie ma na to jasnego sposobu.
Okazuje się, że najlepszym rozwiązaniem tego problemu jest myślenie geometryczne. Przypomnijmy, twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w trójkącie prostokątnym z nogami a, b i przeciwprostokątną c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Możemy tym manipulować, aby uzyskać a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Dokładnie taka jest forma wyrażeń po prawej stronie równań.
Jeśli zgodnie z tym uświadomieniem sobie narysujemy trójkąt, z pierwszego równania możemy utworzyć dwa trójkąty prostokątne o wysokości \ frac {1} {4} i przeciwprostokątnej y i z. x jest równe sumie trzeciej długości każdego trójkąta prostokątnego. Jeśli pozwolimy, aby wysokość trójkątów prostokątnych była tym samym odcinkiem o długości \ frac {1} {4}, utworzymy większy trójkąt o długościach boków x, y, z i wysokości \ frac {1} {4} po stronie x.
Kontynuując ten sam pomysł dla drugiego i trzeciego równania, otrzymujemy, że wysokość trójkąta po bokach y i z wynosi \ frac {1} {5} i \ frac {1} {6} odpowiednio. Z równania pola powierzchni trójkąta możemy otrzymać
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {and} y = \ frac {5} {6} z
Ponadto ze wzoru Herona , otrzymujemy
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Podstawiając z z innych wzorów na pole, upraszcza to do
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Zatem
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
więc m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}