Jakie jest znaczenie niezmienników naprężeń?


Najlepsza odpowiedź

Mówiąc najprościej, niezmiennik to właściwość, która nie zmienia się nawet po jakiejś transformacji lub jakiejkolwiek operacji matematycznej. Bardzo dobry przykład podano w Wikipedii-

Weźmy przykład prawa grawitacji Newtona. Siła grawitacji między dwoma ciałami będzie taka sama w każdym miejscu we wszechświecie. Siła grawitacji między tymi dwoma ciałami będzie dziś taka sama, jak tysiąc lat temu. Niezależnie od kierunku, w którym przesuwasz te ciała, siła jest taka sama. To jest przykład niezmiennika.

Niezmienniki naprężeń to właściwości macierzy naprężeń, na które transformacja nie ma wpływu. Stan naprężenia można przedstawić w postaci macierzy. Składnik naprężenia hydrostatycznego tej macierzy byłby równy średniej z elementów ukośnych macierzy (naprężenia główne). Suma tych diagonalnych wyrazów jest nazywana Pierwszą Niezmienną (zwaną również Śladem Matrycy).

Zatem możemy podzielić stan macierzy jako sumę hydrostatyczną i dewiatoryjną podkreśla-

Do określenia wartości własnych i wektorów własnych używamy równania | A – Lamda I | * V = 0. Podobnie dla stanu naprężenia używamy następującego równania, które jest podobne do powyższej postaci –

nj = wektor własny, Sigma = wartość własna, delta ij = Macierz tożsamości nazywana również deltą Kroneckera. Ta macierz tożsamości = 1 w pozycji przekątnych, gdzie i = j i równa się 0 we wszystkich innych miejscach.

Teraz możemy ustalić następującą postać

Jeśli dobrze pamiętasz, jest to dewiatoryczna składowa macierzy naprężeń. Z poniższego równania charakterystycznego widzimy, że niezmienniki są współczynnikami naprężeń w równaniu charakterystycznym.

Gdzie I1, I2 i I3 są niezmiennikami macierzy naprężeń.

a. I1 jest śladem macierzy i jest sumą składników przekątnych. Pierwszy niezmiennik.

b. I2 jest sumą nieletnich macierzy. Drugi niezmiennik.

c. I3 = wartość wyznacznika macierzy. Trzeci niezmiennik.

T hese są niezmiennikami, ponieważ pomimo transformacji wykonanej na macierzy, te wartości pozostaną takie same.

W powyższych krokach ustaliliśmy macierz dewiatoryjną i obliczyliśmy, że to J1 i to J1 jest równe 0. Gdy J1 = 0, to suma składników przekątnych = 0. Zatem średnia z tego (nazywane także naprężeniem hydrostatycznym = 0. Zatem naprężenie hydrostatyczne składowej dewiatorycznej jest równe 0, co oznacza, że ​​jest to stan CZYSTEGO ŚCINANIA.

Naprężenie dewiatoryczne i niezmienniki

Odpowiedź

Naprężenie jest zwykle przedstawiane jako symetryczny tensor drugiego rzędu, który można traktować jako macierz 3 * 3. Teraz każdy tensor ma coś, co nazywa się niezmienniki, które nie zmieniają się wraz ze zmianą podstawy. Istnieją trzy podstawowe niezmienniki dla tensora drugiego lub rzędu (naprężenie, odkształcenie, moment bezwładności podlegają temu). Te pozostają takie same, nawet jeśli b asis jest zmieniony. Aby zrozumieć, co rozumiemy przez zmianę podstawy, pomyśl o elementarnej sile problemu materiałowego, w którym próbujemy znaleźć wypadkowe naprężenia normalne i ścinające na płaszczyźnie nachylonej do danego zestawu osi współrzędnych (naszej podstawy). Możemy wykonać wszystkie czynności związane z okręgiem Mohra i znaleźć komponenty naprężenia wzdłuż nowej podstawy (nowe osie współrzędnych, które są wzdłuż i prostopadłe do nachylenia). Więc jeśli weźmiesz pod uwagę tensor naprężenia poprzednio i teraz, zmieniał się on element po elemencie (obie są jednak symetryczne), ale kolejne wielkości pozostają takie same

  1. Ślad macierzy
  2. Ślad kofaktora macierzy
  3. Wyznacznik macierzy.

Oto trzy główne „niezmienniki”.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *