Najlepsza odpowiedź
Mówiąc ściślej, nie można obliczyć skrętu pojedynczego wektora. Potrzebujesz pola wektorowego, curl, coś takiego:
Curl jest operatorem różniczkowym, który pobiera jedno trójwymiarowe pole wektorowe i wypluwa inne trójwymiarowe pole wektorowe.
Aby zrozumieć, co oznacza zwijanie, wyobraź sobie, że mamy pole wektorowe, które reprezentuje prędkość płynu. Oznacza to, że płyn wypełnia pewną przestrzeń, a „pole prędkości” mówi nam, jaka jest prędkość płynu w każdym punkcie tej przestrzeni. Jeśli weźmiemy zwiotczenie pola prędkości, otrzymamy nowe pole wektorowe, które mówi nam, z grubsza mówiąc, jak płyn obraca się w każdym punkt w przestrzeni. W szczególności wielkość wektora zawinięcia mówi o sile obrotu, a kierunek wskazuje kierunek obrotu zgodnie z regułą prawej ręki .
In cartesi współrzędne, zwijanie można obliczyć jako iloczyn poprzeczny operatora del i pola oryginalnego: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ częściowe F\_z} {\ częściowe y} – \ frac {\ częściowe F\_y} {\ częściowe z}) \ hat {x} + (\ frac {\ częściowe F\_x} {\ częściowe z} – \ frac {\ częściowe F\_z} {\ częściowe x}) \ hat {y} + (\ frac {\ częściowe F\_y} {\ częściowe x} – \ frac {\ częściowe F\_x} {\ częściowe y}) \ hat {z}
Jednym z największych powodów, dla których zwijanie jest ważne, jest rozkład Helmholtza . Zasadniczo wszystko, czego potrzebujesz, aby całkowicie scharakteryzować pole wektorowe, to jego dywergencja i skręcenie. Jest to wykorzystywane z wielkim skutkiem, na przykład w równaniach Maxwella, które określając zwijanie i rozbieżność pól elektrycznych i magnetycznych, pozwalają na znalezienie pól:
Odpowiedź
Różnym ludziom mogą pomóc różne analogie / wizualizacje, ale oto jeden możliwy zestaw” fizycznych znaczeń „.
Dywergencja: Wyobraź sobie płyn, w którym pole wektorowe reprezentuje prędkość płynu w każdym punkcie przestrzeni. Dywergencja mierzy przepływ netto płynu z (tj. rozbieżne od) danego punktu. Jeśli zamiast tego płynie płyn do tego punktu, rozbieżność będzie ujemna.
Punkt lub region z dodatnią dywergencją jest często określany jako„ źródło ”(płynu lub czegokolwiek pole opisuje), podczas gdy punkt lub region z ujemną dywergencją jest „ujściem”.
Curl: Wróćmy do naszego płynu, gdzie pole wektorowe reprezentuje prędkość płynu. Zwijanie mierzy stopień, w jakim płyn obraca się wokół danego punktu, czego ekstremalnymi przykładami są wiry i tornada.
Wyobraź sobie mały kawałek płynu, na tyle mały, że skręt jest w nim mniej więcej stały. Ty również jesteś bardzo mały i powiedziano ci, że musisz przepłynąć okrążenie wokół obwodu tego kawałka płynu. Czy wolisz pływać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czy przeciwnie? Jeśli skręt prędkości wynosi zero, to nie ma to znaczenia. Ale jeśli jest niezerowe, to w jednym kierunku będziesz jechał głównie z z prądem, a w przeciwnym kierunku „będziesz płynął głównie pod prądem, a więc twój wybór kierunku miałoby znaczenie . Znak zawinięcia powie Ci, który wybór jest właściwy.
Gradient: Chociaż jest całkowicie poprawne, aby przyjąć gradient w przypadku pola wektorowego wynikiem jest tensor rangi 2 (jak macierz), więc trudniej jest to wyjaśnić w kategoriach intuicyjnych (chociaż być może ktoś inny sobie z tym poradzi). Zamiast tego powiem o gradiencie pola skalarnego : w szczególności pola, które określa wysokość gruntu nad poziomem morza w danym punkcie na Ziemi (określone, powiedzmy, pod względem szerokości i długości geograficznej).
W tej sytuacji gradient jest w rzeczywistości dość prosty: wskazuje „pod górę” (w najbardziej stromym kierunku), a wielkość mówi jakie to jest strome. Na przykład, jeśli nachylenie jest skierowane na północny wschód o wielkości 0,2, wówczas kierunek najbardziej stromego wzniesienia jest na północny wschód, a każdy metr pokonany na północny wschód spowoduje wzrost wysokości o 0,2 metra.
W przypadku gradientu pola wektorowego można go traktować jako gradient każdego składnika tego pola wektorowego indywidualnie, z których każdy jest skalarem.