Najlepsza odpowiedź
Podano, że
\ Displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ razy x \ razy \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Teraz wartość x ^ 2 będzie – \ omega i – \ omega ^ 2
Gdzie
\ Displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
I
\ Displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ Displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Weźmy x ^ 2 będzie – \ omega
Teraz podane wyrażenie to \ Displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + X ^ {84} + X ^ {18} + X ^ {12} + X ^ {6} + 1}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ Displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Teraz przypomnij sobie, że \ Displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Więc
\ Displaystyle {s = 1 – (1 \ razy {\ omega}) + (1 \ razy {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ Displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Zatem odpowiedź to 0
========================================== ================= ===
Podobała Ci się moja odpowiedź? Czy chcesz czytać więcej artykułów, które podobały Ci się powyżej? Proszę, śledź mnie i zagłosuj na tę odpowiedź.
Odpowiedź
Ten problem jest nieco prostszy, niż się wydaje na pierwszy rzut oka, i jest to lekcja użyteczności może to być poszukiwanie – a następnie wykorzystanie – symetrii. Problem nie wymaga żadnego rachunku różniczkowego do rozwiązania, chociaż jeśli znasz jakiś rachunek, to podejście działa bardzo dobrze. Kluczem do rozwiązania innego niż Calculus jest obserwacja, że jeśli ta sama wartość minimalizuje g (x) i h (x), to minimalizuje również g (x) + h (x). Czy rozumiesz, dlaczego to prawda?
Jak możemy zastosować tę ideę do tego problemu?
Rozważmy g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Ta funkcja jest symetryczna wokół x = 3,5 – w połowie drogi między wartościami +3 i +4, które są dodawane do x – ponieważ możemy zapisać ją jako g (x) = ((x + 3,5) -0,5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Pozwalając y = x + 3,5, symetria ta implikuje, że g (y) musi być parzystym wielomianem, stąd zawiera wyrazy z parzystymi potęgami y. Ponieważ jest to wielomian parzysty, twierdzenie o dwumianu mówi nam, że wszystkie jego współczynniki muszą być dodatnie. (W rzeczywistości jest to g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, ale nie musimy nawet znajdować tych trzech wyrazów wprost, aby zakończyć argument.) Ponieważ y = 0, wyraźnie minimalizuje każdy z sumy g (y) indywidualnie, ponieważ każdy z nich jest parzystą potęgą y z dodatnim współczynnikiem, z naszych początkowych obserwacji wynika, że y = 0 również musi minimalizować g. Więc odkryliśmy, że x = -3,5 jest unikalnym minimalizatorem g (x).
Następnie rozważmy h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Ta funkcja jest nieco prostsza niż g, ponieważ jest kwadratowa, a prawie identyczny argument oznacza, że x = 3,5 jest również unikalnym minimalizatorem funkcji h (x). Wykorzystaj symetrię, aby zapisać ją jako h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2. Następnie zauważ, że h (y) jest parzystym wielomianem (stąd ma tylko parzyste potęgi y) i użyj twierdzenia dwumianowego, aby wywnioskować, że ma tylko dodatnie współczynniki. W rzeczywistości h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, ale znowu nie musimy tego znajdować bezpośrednio. Ponieważ y = 0 minimalizuje wszystkie wyrazy, które są dodawane w celu utworzenia h (y), wiemy, że y = 0 minimalizuje h (y) i dochodzimy do wniosku, że x = -3,5 jest unikalnym minimalizatorem h (x). >
Wreszcie, ponieważ x = -3,5 jest unikalnym minimalizatorem zarówno g (x), jak i h (x), jest unikalnym minimalizatorem ich sumy i problem został rozwiązany.