Najlepsza odpowiedź
Tylko gdy θ = 0.
Jest geometrycznie oczywiste, że dla dowolnego θ między 0 a π / 2, 2sinθ jest długością cięciwy łuku o wymiarach radianu 2θ w okręgu o promieniu 1. A ponieważ cięciwa jest krótsza od łuku, musimy mieć sinθ <θ dla wszystkich takich θ. Oczywiście, jeśli θ> 1, to sinθ . Wreszcie sinθ <θ dla wszystkich dodatnich θ implikuje sinθ> θ dla wszystkich ujemnych θ.
Nawet jeśli θ jest mierzone w stopniach, sinθ nie może równać się θ, chyba że θ = 0, po prostu dlatego, że miara łuku w radianie θ stopni to πθ / 180, czyli znacznie mniej niż θ.
Odpowiedź
Myślę, że lepsze pytanie brzmi: może \ cos \ theta równa 2?
Prawdopodobnie wiesz, że nie może, jeśli \ theta jest kątem trójkąta w geometrii płaskiej, ponieważ przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa niż długość jego nóg, a sąsiednia noga nie może być dwa razy dłuższa od przeciwprostokątnej. Podobnie, jeśli \ theta jest dowolną liczbą rzeczywistą, ponieważ \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Zatem jeśli \ theta \ in \ mathbb R, to -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, stąd \ cos \ theta nie może wynosić 2.
Jednak twierdzimy, że jeśli z \ in \ mathbb C, jest możliwe dla \ cos z = 2. Rzeczywiście, złożona analityczna definicja cosinusa to \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, a więc kończymy z równaniem kwadratowym, do którego, miejmy nadzieję, większość z nas przywykła .
Chcemy rozwiązać \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Biorąc w = e ^ {iz}, to staje się \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2 lub równoważnie, w ^ 2-4w + 1 = 0. Następnie stosujemy wzór kwadratowy:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Ponieważ w = e ^ {iz} możemy wziąć logarytm naturalny, ale musimy ostrożnie : tak jak a ^ 2 = b ^ 2 nie implikuje a = b (implikuje tylko a = \ pm b), e ^ a = e ^ b nie implikuje a = b, tylko implikuje a = b + 2 \ pi ik dla jakiegoś k \ in \ mathbb Z. Stąd
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Następnie po prostu mnożymy przez -i, aby otrzymać wartość z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Możemy w końcu przepisać nasze rozwiązanie, zauważając, że 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, a zatem \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Zachowanie \ cos z jako złożonej funkcji analitycznej naśladuje funkcję trygonometryczną w kierunku rzeczywistym i cosinus hiperboliczny w kierunku urojonym; w rzeczywistości możesz wiedzieć, że \ cos (iz) = \ cosh z i \ sin (iz) = i \ sinh z; a połączenie tych faktów ze wzorem na sumę cosinusów pociąga za sobą \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, z x, y \ in \ mathbb R. To zapewnia alternatywny sposób odpowiedź. Philip Lloyd ma świetny diagram na ten temat: odpowiedź Philipa Lloyda na pytanie Dlaczego „t cos theta nie może być równe 2?