Najlepsza odpowiedź
Możemy przedstawić dowolną dodatnią liczbę całkowitą n w zapisie dziesiętnym jako n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, gdzie a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} and a\_k \ neq 0. Następnie n \ geq 10 ^ k. Suma cyfr to a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Ta nierówność wynika z a\_i \ leq 9. Można teraz łatwo zauważyć, że jeśli k \ geq 2 to 18 (k + 1) 0 ^ k. Teraz mamy elementy n = 10a\_1 + a\_0. Można to łatwo sprawdzić za pomocą komputera. Oto jak to zrobiłem w Pythonie
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Zatem jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która jest dwukrotnością sumy jej cyfr, jest 18. Jeśli uwzględnimy nieujemne liczby całkowite, to również mamy 0. Nie jestem do końca pewien, jak należy interpretować to pytanie dla ujemnych liczb całkowitych.
Odpowiedź
Liczba N jest iloczynem pierwszych 100 dodatnich liczb całkowitych. Gdyby wypisane były wszystkie cyfry N, jaka cyfra znajdowałaby się obok wszystkich zer na końcu?
Zasadniczo szukamy 100! a potem chcemy odrzucić wszystkie zera na końcu, wtedy chcemy wiedzieć, jaka jest pierwsza niezerowa cyfra po prawej stronie.
Jednym ze sposobów jest obliczenie 100! używając programu takiego jak bc (kalkulator laboratoryjny w systemie Linux lub Unix), a następnie odrzuć wszystkie zera, aby uzyskać wymaganą cyfrę.
Spójrzmy na inny sposób rozwiązania problemu, korzystając z zasady dziel i rządź.
Odrzućmy wszystkie liczby kończące się na 1 i. mi. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 ponieważ w miarę mnożenia ostatnia cyfra poprzedniej wielokrotności (iloczyn osiągnięty do tego momentu) nie ulegnie zmianie i nie jesteśmy zainteresowani obliczanie 100! i tak bez zer.
Spójrzmy na pierwsze 9 liczb zaczynające się od 2 i są to:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Od lewej do prawej 2 * 3 daje 6, 6 * 4 daje 24, po prostu zachowaj 4 i pomnóż to przez 5, aby otrzymać 20 (ponieważ chcemy odrzucić zero), teraz zachowaj 2 i pomnóż to przez 6, aby dać ci 12, ponownie zachowaj tylko 2 i pomnóż to przez 7, aby uzyskać 4 (z 14) i pomnóż to przez 8, aby dać ci 2 (odrzucając 3 z 32) i pomnóż to przez 9, aby uzyskać 8 ( odrzucenie 1 z 18) i pomnożenie go przez 10 daje 8 (odrzucając 0 lub 80). W ten sposób otrzymujesz jedną cyfrę, czyli 8 .
Działając podobnie na 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 daje znowu 8 .
Następna seria 22, 23…, 28, 29, 30 daje 2.
W następnej serii jest 4
Kontynuując podobnie w pozostałych seriach, otrzymasz 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 i 2 .
Teraz finał zadanie polega na pomnożeniu cyfr jak powyżej, do których doszliśmy dla każdej z serii.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 i mnożąc te cyfry i odrzuć dziesiątą cyfrę po drodze, dochodzimy do 4 jako ostatniej cyfry.
To jest czwarta Ostateczna odpowiedź na pytanie, 4 to wymagana cyfra.