Najlepsza odpowiedź
1. Pierwiastki liczb.
W szkole podstawowej powiedziano nam, że pierwiastek kwadratowy z liczby jest w rzeczywistości pytaniem. Liczba pomnożona przez siebie tyle razy, aby uzyskać liczbę, jest pierwiastkiem. Na przykład. pierwiastek kwadratowy z 9 = 3, ponieważ 3 × 3 = 9 czwarty pierwiastek z 16 = 2, ponieważ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 i tak dalej. Jednak natura pierwiastków jest bardziej fundamentalna, ponieważ ich zastosowanie rozszerzyło system liczbowy z wymiernego na rzeczywiste. Innymi słowy, aby skorzystać z operacji znajdowania pierwiastków, konieczne było rozszerzenie systemu liczbowego tak, aby był zamknięty pod operacja „zakorzenienia” poprzez wprowadzenie liczb niewymiernych. Liczby wymierne są zamknięte dla +, -, ×, ÷ ale nie dla√. Np. √2 nie może być wyrażone jako iloraz. stłumić to, ponieważ nie było kwadratowe, ha, ha, z ich światopoglądem.
2. Korzenie równań
Charakter, o którym nam powiedziano, był taki, że krzywa przecina oś x. Mogło się to zdarzyć raz, dwa, trzy razy w zależności od wielomianu. Wymyślono reguły do ich obliczania, których wszyscy się nauczyliśmy. Następnie zadano pytanie. Co się stanie, jeśli krzywa nie przecina osi x? Wtedy oczywiście mamy wyimaginowany pierwiastek, który miał miejsce, gdy b ^ 2-4ac . Wymagało to, potrzebne. Dlatego wymyślono system liczb zespolonych, aby uwzględnić pierwiastki liczb ujemnych. Zatem naturą „pierwiastków” było rozszerzenie systemu liczbowego poza liczby wymierne.
Odpowiedź
Wyobrażam sobie, że masz na myśli „naturalny” w znaczeniu „naturalny izomorfizm”. Jeśli coś jest „naturalne” lub „kanoniczne”, to z grubsza oznacza, że nie jest wynikiem żadnego arbitralnego wyboru. Zależy to oczywiście od kontekstu.
Jednym z motywujących przykładów rzeczy „naturalnej” jest izomorfizm między skończoną wymiarową przestrzenią wektorową V a jej podwójnym podwójnym V ^ {\ vee \ vee}. Izomorfizm prowadzi v \ in V do E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, gdzie E\_v (\ phi) = \ phi (v) dla \ phi \ in V ^ \ vee. Wysyłasz wektor v do mapy E\_v, która ocenia podwójne wektory w v. Jest to naturalne; nie dokonano żadnych arbitralnych wyborów, po prostu wypadło to bezpośrednio z definicji i relacji między przedmiotami.
Istnieje inny izomorfizm między tymi dwiema przestrzeniami lub oczywiście, ale ten jest „właściwym wyborem”. Każdy inny wybór byłby nienaturalny; na przykład możesz wysłać v do E\_ {A (v)}, gdzie A: V \ do V to jakiś dowolny liniowy automorfizm V. Ale… dlaczego? Nie ma żadnego powodu, dla którego musisz wprowadzać A, ponieważ masz naturalny wybór v \ mapsto E\_v tuż przed sobą. Miejmy nadzieję, że różnica między izomorfizmem „naturalnym” a izomorfizmem „nienaturalnym” jest wystarczająco wyraźna.
Z drugiej strony nie ma naturalnego izomorfizmu L: V \ do V ^ \ vee. Konstruowanie izomorfizmu wymaga arbitralnych wyborów. Mógłbym wybrać bazę b\_1, \ dots, b\_n i zadeklarować L (b\_i) jako wektor dualny, który przyjmuje b\_i do 1, a wszystkie inne wektory bazowe do 0. To definiuje doskonale dokładny izomorfizm, ale mógłbym zrobić dokładnie to samo rzecz na jakiejkolwiek innej podstawie i uzyskaj inny, równie ważny izomorfizm. Nie ma sposobu, aby wybrać jeden w naturalny, dany przez Boga * sposób.
To jest bardzo przybliżony, nieformalny opis. Można to (i jest) sprecyzowane przez teorię kategorii: funktory i naturalne transformacje zapewniają właściwy sposób myślenia o tym, co sprawia, że coś jest „naturalne” w jakimś kontekście. Zrobiłem wszystko, co w mojej mocy, aby przekazać własną intuicję dotyczącą tego pojęcia, która moim zdaniem wystarczyłaby, dopóki ktoś nie będzie gotowy na (kate) krwawe szczegóły.
* niezależnie od teologii / ontologii matematyki