Cel mai bun răspuns
Nu există o modalitate absolută de a atribui pante cercurilor de pe o sferă. În legătura dată de persoana care cere, se folosește o mapare numită parametrizare stereografică: parametrizarea stereografică mapează un plan pe o sferă, în esență prin identificarea planului ca homeomorf la o sferă cu un singur punct eliminat (atunci când se utilizează proiecții și parametrizări stereografice, acesta este numit adesea „punctul la infinit” sau punctul de proiecție).
O proprietate fundamentală a acestei mapări este că este conform: păstrează unghiurile la care se intersectează curbele netede. În special, mapează linii drepte pe plan cu arce geodezice pe sferă.
Acum, pentru a măsura panta unei linii în plan, trebuie să alegem o linie orientată pe care să o măsurăm. Acest lucru este ales în mod tradițional pentru a fi „axa x” orientată spre dreapta, deoarece lucrăm adesea cu grafice reprezentate pe o axă orizontală independentă (și presupun că orientarea vine din direcția de la stânga la dreapta a citirii majorității limbilor occidentale). Axa pe care o alegem determină modul în care vor fi măsurate pante.
Deci, odată ce alegem axa, o putem mapa la un cerc mare pe sferă și apoi putem descrie panta unui cerc prin proiectarea stereografică înapoi în plan și măsurarea normală. Totuși, trebuie să subliniez că aceasta nu este o funcție generală care mănâncă geodezice și scuipă numere! Este o funcție care mănâncă două geodezice ȘI un punct (deci știm unde este originea sau dual, unde este „punctul la infinit”) și scuipă un număr care dă panta relativă față de un „cadru de referință”.
Editați. Ceva m-a deranjat cu acest răspuns de când l-am scris ieri și un punct important a făcut clic în această dimineață: multe cercuri din sferă sunt mapate la cercuri din plan și viceversa, deoarece hărțile conforme pot schimba linii și cercuri (rețineți că ambele curbe au o curbură constantă). Deci, panta unui cerc măsurată în raport cu un alt cerc (orientat!), Cu un punct de bază ales, nu va avea sens în modul în care îl descriu decât dacă ambele sunt mapate la linii pe plan. Acest lucru este adevărat exact atunci când ambele cercuri mari intersectează punctul la infinit și, prin urmare, trebuie să solicităm și faptul că punctul pe care îl alegem pentru proiecție este, de asemenea, un punct de intersecție al cercuri. Dacă vă uitați la diferențialele lor în acel punct al sferei, puteți deduce panta lor relativă. Dacă mă va atinge o formulă simplă, mă voi actualiza. Îmi cer scuze pentru că sunt neglijent și mi-a lipsit!