Bästa svaret
Ah! Detta är en trevlig iakttagelse, och vad den lär oss är att siffersystem för platsvärde tillåter att vissa nummer har flera representationer med olika siffror.
Jag föreslår att du försöker hitta skillnaden mellan de två numeriska uttrycken ( visa att det finns ett tal mellan dem).
Du kan verkligen inte göra det på vanligt sätt, för det finns ingen sista 9-siffran för att börja göra subtraktionen från den minst signifikanta siffran , finns det? Det beror på att de fortsätter för alltid.
I huvudsak kan du dock börja från den mest betydelsefulla siffran och fortsätta att ”låna” den till höger, snarare än att ”låna” från vänster.
Så om vi tittar på de första siffrorna har vi
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
”Utlåning” till höger betyder att ta den del av det övre numret som tio tiondelar (vilket det är!). Att subtrahera nio tiondelar lämnar en tiondel. Men vi kan sedan ”låna ut” det till höger som tio hundradelar och subtraherar nio hundradelar från det och fortsätter på obestämd tid.
Och detta fortsätter på obestämd tid. Det finns ingen plats där processen stannar och lämnar en siffra, för (i viss mening) att slutföra denna (oändliga) process skulle bara lämna nollor när den utvecklades ”hela vägen” till höger.
Det finns andra – mer rigorösa och elegantare – sätt att bevisa att 0. \ dot {9} = 1.
Ett annat sätt att tänka på det är att tappa bördan som är decimal b asesystem (bas tio) och räkna i ternär (bas tre). Ternary är systemet där vi räknar 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ dots. Siffror i ternära har inte decimaler men ternära punkter. I ternär har vi \ frac {1} {3} = 0,1 och \ frac {2} {3} = 0,2.
Men sedan är fraktionen \ frac {1} {2} = 0. \ punkt {1} upphör inte! För att inte tala om att i ternär är den icke-upprepande 0. \ dot {2} = 1, för det är exakt två gånger det föregående uttrycket (om du byter höger och vänster sida av jämställdheten måste det vara så).
Detta är den stora och kraftfulla saken om jämställdhet. Eftersom vi vet att i bas tio \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, då \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, vilket visar att samma antal kan har flera representationer i samma numeriska system för platsvärde.
Moralen i berättelsen är att undvika att fastna i vad vi kallar saker, men istället fokusera på vad de är och vad de gör .
Svar
Ja, en dividerad med tre är möjliga i fälten med riktiga eller rationella tal, och det motsvarar en tredjedel.
Det är inte möjligt att representera en tredjedel med en ändlig decimalpositionsnotation. Om du vill använda en oändlig -representation, som den som antyds av punkterna i 0.333 \ dotsc, borde du ha något formellt sätt att säga vad det betyder. Matematiker har en sådan formell specifikation, kallad gränser, där 0,999 \ dotsc = 1.
Observera att decimaltal representation av ett tal är inte själva numret. Precis som att du inte är ditt namn eller ditt smeknamn eller något av dina många ID. Siffrorna har massor av representationer inklusive många olika baser, ord, uttryck och så vidare. Representationerna för en tredjedel inkluderar:
- 0.333 \ dotsc (decimal)
- 0.1\_3 (ternär)
- \ frac13
- 20 ”(minuter – en tredjedel av en timme)
- 120 ° (grader – en tredjedel av en cirkel)
- \ frac26
och så vidare.
Det faktiska antalet en tredjedel i sig förblir avskilt från alla dessa representationer. Det är definierat genom dess egenskap att vara en uppdelad med tre. Med andra ord är det talet som ger en när den multipliceras med tre. Allt annat är bara interimnotation som, som du har noterat, är lite klumpig i decimal.