Bästa svaret
Tja, ja. Inte säker på hur värdigt ett bevis detta är, men i euklidisk geometri definierar du parallella linjer enligt följande:
Vi säger att AB \ parallell CD \ iff \ vinkel {FEB} = \ vinkel {EFC}.
Nu antar vi tvärtom – att AB och CD möts, säg, vid en punkt P till höger om GH ( för bestämdhet; du kan alltid anta att P är till vänster om GH). Sedan, i \ bigtriangleup {EFP}, \ vinkel {P} = 0 ^ o. Vilket skulle innebära att AB och CD sammanfaller (vilket naturligtvis är osant). Därifrån kan inte AB och CD mötas.
Detta är dock bara hälften av beviset – där vi visar att parallella linjer inte kan mötas. För att bevisa att linjer som inte möts är parallella, överväga diagrammet nedan:
Om AB och CD inte möts, då måste det vara sant att EF = GH. Även EF \ parallell GH genom konstruktion, vilket betyder att \ vinkel {FEG} = \ vinkel {EGH}. Varifrån \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ innebär \ vinkel {HEG} = \ vinkel {EGF} \ innebär AB \ parallell CD.
Svar
Om en linjen är parallell med ett plan, den kommer att vara vinkelrät mot planets normala vektor (precis som alla andra linjer som finns i planet eller parallellt med planet).
(Observera att jag använder ”vinkelrätt ”Här, inte i den meningen att de skär varandra, nödvändigtvis, men i den meningen att deras vektorer skulle vara 90 grader om de placerades bredvid varandra)
För att hitta om två vektorer är vinkelräta, bara ta deras prickprodukt. Om det är lika med 0 är de vinkelräta.
Så om vi till exempel har planet: 2x + 3y – 4z = 7 (normalvektorn här skulle vara <2,3, -4>)
Och vi vill ta reda på om linjen: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, är parallell med den, vi behöver bara punktprodukten av linjens vektor (<1, -2, -1>) och planet normala vektor.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
Så i det här fallet är linjen och planet parallella.
Om vi vill använda samma plan, men jämför det med raden: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, då får vi:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Så vi kan se att dessa två inte kommer att vara parallella.