Bästa svaret
Det finns verkligen ingen allmän definition av utrymme i matematik. Nästan alla objekt vi kan tänka oss visuellt kan kallas ett utrymme. Metriska utrymmen, grenrör, Hilbert-utrymmen, orbifolds, scheman, måttrymden, sannolikhetsrymden och modulstaplar är allt vi kallar utrymmen.
Det närmaste en allmän definition av rymden är sannolikheten begreppet a topologiskt utrymme. Till exempel är metriska utrymmen, grenrör, Hilbert-utrymmen, orbifolds och scheman alla topologiska utrymmen med lite mer struktur.
Ett topologiskt utrymme består av en uppsättning punkter, X och en samling underuppsättningar av X som vi kallar ”öppen”, under förutsättning att
- Den tomma uppsättningen och X i sig är öppna,
- Varje förening av öppna uppsättningar är öppen,
- Och skärningspunkten mellan ett par öppna uppsättningar är öppna.
De öppna uppsättningarna ska vara som de öppna underuppsättningarna av \ mathbb {R}. Med risken för att vara vag, tänker vi på de öppna uppsättningarna som dessa underuppsättningar U av X så att varje punkt i U har kan flyttas lite utan att lämna U. Detta är bokstavligen fallet för \ mathbb {R}, eftersom öppna uppsättningar definieras där för att vara delmängderna U så att för alla x \ i U finns en \ epsilon> 0 så att (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ delmängd U (dvs. flyttar x med mindre än \ epsilon kommer inte att leda till en punkt utanför U).
Det visar sig att denna minimala mängd information – en uppsättning punkter och en samling öppna delmängder – räcker för att berätta om funktionerna är kontinuerliga. Detta gör topologiska utrymmen verkligen användbara.
Å andra sidan är inte varje utrymme i matematik ett topologiskt utrymme, eller till och med, som andra har svarat, en uppsättning punkter med lite extra struktur. Det var något jag blev förvånad över för några semestrar sedan.
Motexemplet jag tänker på är tanken på en modulstack, som (detta blir konstigt!) Är en speciell typ av functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, där förbilden av varje objekt D av \ mathcal {D} betraktas som samlingen av kontinuerliga funktioner från D till det utrymme som F ska representera.
Hur på jorden är detta ett utrymme? För att få lite intuition, överväga uppsättningen kontinuerliga funktioner från ett utrymme som består av en enda punkt till ett topologiskt utrymme, X. För varje punkt p \ i X får vi en funktion som tar den enda punkten till p. I denna mening beskriver uppsättningen kontinuerliga funktioner från en punkt till X punkterna i X. Om vi betraktar funktioner från något mer avancerad, säg ett linjesegment, till X börjar vi få en uppfattning om hur punkterna i X är relaterade till varandra – vilka som kan anslutas till varandra via en väg, vilka som är nära och vilka som är långt ifrån varandra, och så vidare. Genom att beakta alla möjliga uppsättningar funktioner till X kan vi faktiskt dra exakt vad X är. Detta är en idé som går under namnet Yoneda Lemma . Tanken med en modulstapel är att använda detta som en metafor: vilken funktion som helst som ”ser ut” som den beskriver funktioner i ett topologiskt utrymme kan användas för att definiera ett ”utrymme”.
Vad jag vill betona är det här: det finns många typer av utrymmen i matematik, men om du vill få en grundläggande uppfattning om vad ett utrymme är bör du studera topologiska utrymmen. Som sagt, saker blir konstiga!
Svar
Utrymmet i sig har inte mycket av en formell definition. Det är nästan en matematisk version av ordet ”sak”. Kanske är en närmare synonym ”set”, men ordet ”space” betyder att det finns någon extra ingrediens … någon struktur … det är också på spel. Annars skulle de bara använda ordet ”set.”
Olika typer av mellanslag har definitioner. Ett vektorrymd är ett uppsättning av vektorer som följer vissa regler. Ett topologiskt utrymme är en uppsättning tillsammans med en speciell samling underuppsättningar som uppfyller vissa regler. Ett metriskt utrymme är en uppsättning tillsammans med en lämplig formel som anger avståndet mellan punkter i uppsättningen. Ofta har de speciella typerna av utrymmen beskrivande namn som dessa.
Andra typer av utrymmen är uppkallade efter personer som har studerat dem. Banach-utrymmen, Hilbert-utrymmen, Sobolev-utrymmen … allt detta är speciella typer av vektorrymden med lite extra struktur det gör dem intressanta på sitt eget sätt och är uppkallade efter människor som var viktiga för att utveckla den historien.