Bästa svaret
Det beror på.
a ^ 2 + b ^ 2 kan inte faktor för att det finns inga två tal som har en summa av noll och en produkt som är större än noll.
Summan av två rutor i form a ^ 4 + 4b ^ 4 kan betraktas som:
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 – 4a ^ 2b ^ 2
(a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab) (a ^ 2 + 2b ^ 2 – 2ab)
Exempel:
x ^ 4 + 4 = (x ^ 2 + 2x + 2) (x ^ 2 – 2x + 2)
x ^ 4 + 64 = (x ^ 2 + 4x + 8) (x ^ 2 – 4x + 8)
x ^ 4 + 324 = (x ^ 2 + 6x + 18) (x ^ 2 – 6x + 18)
Vi kan försöka faktor x ^ 4 + 1 och x ^ 4 + 2 så här:
x ^ 4 + 1 = (x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1) (x ^ 2 – \ sqrt {2} x + 1)
x ^ 4 + 2 = (x ^ 2 + \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2}) (x ^ 2 – \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2})
Vi kan faktorera någon av dem som använder irrationella siffror.
Vi kan också försöka faktor x ^ 2 + 4:
\ sqrt {x ^ 4} + 4
(x + 2 \ sqrt {x} + 2) (x ^ 2 – 2 \ sqrt {x} + 2)
Det är också möjligt att faktorera summan av kvadrater i form a ^ 6 + b ^ 6 eftersom de också är kuber. Summan av två kuber (a ^ 3 + b ^ 3) kan beräknas som (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2):
a ^ 6 + b ^ 6 = (a ^ 2) ^ 3 + (b ^ 2) ^ 3 = (a ^ 2 + b ^ 2) (a ^ 4 – a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4)
a ^ 6 + 64 = (a ^ 2 + 4) (a ^ 4 – 4a ^ 2 + 16)
Vi kan försöka faktor x ^ 2 + 1 på det här sättet:
\ sqrt [3] {x ^ 6} + 1
(\ sqrt [3] {x ^ 2} + 1) (\ sqrt [3] {x ^ 4} – \ sqrt [3] {x ^ 2} + 1)
Svar
Ja, detta påverkar \ C
a ^ 2 + b ^ 2
= a ^ 2-i ^ 2b ^ 2
= (a + ib) (a-ib)
där i = \ sqrt {-1}
Men om vi har det här …
a ^ 4 + 4b ^ 4 då
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 [Detta är fortfarande summan av kvadrater]
= (a ^ 2 + 2b ^ 2) ^ 2–4a ^ 2b ^ 2
= (a ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2) (a ^ 2–2ab + 2b ^ 2)
Detta är känt som Sophie Germain Identity .