Bästa svaret
Jag har alltid trott att det härrör från formeln för omkrets: C = 2πr, vilket innebär att denna formel gäller oavsett cirkelns radie; det vill säga radien för den specifika cirkeln är irrelevant, eller gör jag ett cirkulärt argument?
Hur som helst visar det sig att π / 2 Radianer = 90 °, π Radianer = 180 °, och därför , 2π Radianer = 360 °, det vill säga 2π Radianer = omkretsen av NÅGON cirkel, oavsett radie eller någon annan storleksparameter för en cirkel.
Jag är inte säker på att jag håller med med antagandet av din fråga, dvs att ”Varför är en cirkel 2π radianer”. Eftersom en radian i själva verket är en beskrivning av ett bågsegment av omkretsen som är lika långt som cirkelns radie och 2π radianer säkert beskriver den svepade ytan av en cirkel, möjligen beskriver området och omkretsen av en cirkel men en cirkel är en sak, de olika egenskaperna hos en cirkel t.ex. båge, omkrets, radie, yta skiljer sig åt var och en från delar av en cirkel.
Det är inte min avsikt att nit-pick, utan att använda exakt språk så att vi alla är tydliga på vad som sker diskuteras.
Svar
Grader och radianer är två vanliga måttenheter för vinklar.
I en cirkel är en central vinkel av en radians storlek subterad med en båge som är lika lång som radien, dvs s (båglängd) = r (radie) * θ (måttet i radianer av den utdragna centrala vinkeln) r = r (θ) θ = 1 radian A den centrala vinkeln för en radian i storlek skulle mäta cirka 57,3 grader, och det finns 360 grader i en cirkel; därför är 360 grader / (57,295779513082320 … grader / radian) lika med 2π radianer. Med andra ord har en cirkel 2π radianer, precis som en cirkel har 360 grader, alltså 2π radianer = 360 grader. På ett annat sätt vet vi att omkretsen eller avståndet runt en cirkel med radien r = 2πr; Med hjälp av båglängdsformeln s = rθ har vi: s = rθ 2πr = rθ rθ = 2πr När vi delar båda sidor med r har vi: θ = 2π radianer. Därför motsvarar en hel cirkel eller en hel cirkelvarv en vinkel av 2π radianer. Ett intressant faktum är att om omkretsen av en cirkel divideras med radien, dvs. C / r, skulle vi finna att omkretsen innehåller 2π radier.