Bästa svaret
Jag kan förstå att du vill ha svar här. Traditionellt är en vik värdet av en sak; ergo är en ökning 100\%. Detta ger emellertid förvirring eftersom de flesta anser att ett dubbelt intresse är dubbelt så mycket som värdet (200\%) av en sak – den populära definitionen. Till och med Collins ordbok för matematik definierar ”-fold” för att betyda ”gånger”, som i ”dubbelt” motsvarar ”två gånger”, vilket är lika med dubbelt. Vissa forskare använder ”fold” för att vara synonymt med den matematiska termen ” gånger, ”som i” tre gånger större ”betyder” tre gånger större. ” Men andra insisterar på att använda ”veck” traditionellt för att beskriva det totala värdet av en sak; alltså, ”60 är en gång större än 30.” i daglig användning kanske du vill hålla fast vid den populära definitionen.
Svar
Intressant fråga. Låt oss bryta ner den.
- Varför beräknas determinanter ?
Uppriktigt sagt finns det inte en enda anledning på jorden varför du ska beräkna en determinant förutom när den frågas i ett linjärt algebra-test. till en uppsättning linjära ekvationer av formen Ax = b där determinanter spelar en viktig roll. Cramers regel – Wikipedia
Detta har lett många till en misvisad själ till slutsatsen att denna regel är ett bra sätt att beräkna lösningen. Det är det inte. Låt mig förklara varför.
2. Varför beräknas determinanter så som de beräknas
Det första du lär dig i linjär algebra 101 är att expandera en determinant längs en rad eller kolumn, som kan formuleras rekursivt som
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
där A\_ {kj } är den submatris du får genom att kasta den femte raden och den j: e kolumnen i A. Detta är OK om din matris är 3 \ times3 eller 4 \ gånger 4, blir tråkig när n = 5 och kan ångras för större n . Men vi har datorer, eller hur? Okej. Låt oss göra detta vetenskapligt och göra en operation. Låt T\_n vara antalet operationer för att beräkna en n \ gånger n determinant på detta sätt. I ett linjärt algebra-sammanhang är ”operation” en multiplikation följt av ett tillägg. Då tydligt
T\_n = nT\_ {n-1}
Hej! Ringer det inte en klocka? Ja, det här är fakultetsfunktionen och T\_n = n !. Nu om vi hade en dator som kan utföra 10 ^ {20} operationer per sekund, vilket bara kan hända om kvantdatorerna blir operativa och vi var tvungna att beräkna en 100×100 determinant efter rad- eller kolumnutvidgning skulle vi behöva
100! = 9.3326E157
operationer. Och 100 \ times100 är inte överdrivet, industriella applikationer hamnar ofta i miljoner. Nu har ett år 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekunder, så vi kan inte göra mer än 3.2E27-operationer per år, vilket är bara en droppe i havet på 9.3E157. Mer specifikt skulle vi behöva 3E130 år och med tanke på att universums beräknade ålder är 13.8E9 (6E3 om du är en kreationist) år är vi ett par år kort.
Slutsats: detta är inte ett bra sätt att beräkna en determinant.
Och för att beräkna en lösning med Cramers regel skulle du behöva beräkna 101 determinanter. Cramers regel inte alls! Det är av teoretiskt, inte av praktiskt värde.
Därför bör du använda en LU-sönderdelning ( LU-sönderdelning – Wikipedia ) för att beräkna en determinant och som en extra fördel ger den dig också lösningen på ditt system Ax = b. Operationsräkningen för LU är \ frac13n ^ 3. För att få en bestämning utifrån det multiplicerar du alla diagonala element i U. (\ cal O (n)). För att få lösningen på ditt system kräver Ax = b ytterligare n ^ 2-operationer. Så allt som allt skulle kräva 3,34E5-operationer och vi skulle vara redo på 10 ^ {- 14} sekunder.
Sheldon Axler skrev en linjär algebraxt som inte använder några determinanter https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
och jag är säker på att Alon Amit (”matriser suger, operatörsregler”) skulle godkänna.