Bästa svaret
* A2A
Sine är den trigonometriska funktionen som är lika med förhållandet mellan sidan motsatt en given vinkel (i en rätt triangel) och hypotenusen.
Obs! Alla trigonometriska funktioner gäller endast för högra trianglar ..
Men värdet på sinus är beroende av vinkeln..Så för en vinkel a är värdet på sinus alltid detsamma .. Oavsett hur stort det motsatta
Området för sinusvärdena är [-1,1]…
Oavsett vad vinkel kan vara .. Eftersom vi får ett värde på sinus för vinklar som har något värde … Vi kan nu säga att:
f (x) = sinx .. Här kan x vara vilken vinkel som helst från minus oändlighet till plus oändlighet..Men värdet på tecknet kommer alltid att ligga inom intervallet [-1,1] ..
Denna funktion skiljer sig dock inte från den normala funktionen vi känner till: f (x) = x ^ 2–3x + 6
Här är några artiklar för din referens .. Du hittar en bättre och beskriven definition av sinus och andra trigonometriska funktioner här ..
https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
Svar
Det finns ett antal sätt att definiera sinus som en funktion, beroende på vilka regler du tillåter för definitionen.
Ett sätt är att säga att \ sin x = -i \ Im e ^ {ix}. Vissa skulle argumentera för att det flyttar problemet från ”hur definierar du sinus” till ”hur definierar du komplex integration”, men det är en bagatell.
På samma sätt kan man säga att sinus är den unika verkliga funktion f (x) som uppfyller differentialekvationen f ”” = -f med de initiala villkoren att f (0) = 1, f ”(0) = 0. Detta är en implicit definition, inte en uttrycklig definition. Men det är en giltig definition.
Den definitionen kan dock användas för att skapa en Taylor-expansion för att få
\ begin {align} \ sin x & = f (0) + xf ”(0) + \ frac {x ^ 2} {2} f” ”(0) + \ cdots \\ & = \ sum\_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ i} {i!} \ frac {d ^ if} {dx ^ i} \\ & \ approx x – \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 5} {120} – \ frac {x ^ 7} {5040} \ end {align}
Det sista uttrycket där är en 7: e ordningens polynomiska approximation för sinusfunktionen, vilket är exakt till cirka 7 decimaler för 0 \ leq x \ leq \ pi / 4.
Det finns några finesser, som att bevisa att Taylor-serien konvergerar för alla x, men det är i princip så för att göra det.
Du kanske kan komma på något baserat på en cirkelbåglängd: \ theta = \ int\_0 ^ {\ sin \ theta} \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2}, x ^ 2 + y ^ 2 = 1, xdx = -ydy, men jag är inte benägen att försöka lösa det för \ sin \ theta.