Hur förstår man ∫udv = uv-∫vdu? Tolkar jag det som en omvänd produktregel


Bästa svaret

Låt oss börja med produktregeln.

Exempel: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Hur kom jag dit? Produktregeln är: När y = uv, uv är två olika funktioner multiplicerade tillsammans – i detta fall sinus och cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Så i exemplet ovan, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 eller (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Den omvända produktregeln är bara motsatsen, liksom integration är det motsatta / motsatta av differentiering.

Så från dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Låt oss integrera allt! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Att differentiera y blir dy / dx, så integrering går tillbaka till y. Därför y = ∫u dv + ∫v du

Eftersom vi vet att y = uv (se ovan) uv = ∫u dv + ∫v du

Sedan ordnar vi bara om ekvation som sådan:

∫u dv = uv – duv du gjort.

Jag förstår det inte heller heller, men det här är så bra jag kan för att förklara hur man härled det.

Svar

Här är ett sätt att tänka på det: ∫udv integreras längs v-axeln. Den beräknar ytan under u-kurvan mot v.

∫vdu integreras längs u-axeln. Den beräknar ytan till vänster om v-kurvan, mot u.

Lägg de två ihop och du får en kvadrat: hela området mellan u- och v-axlarna. Den totala ytan är produkten av de två: uv. För att sammanfatta får du:

∫v du + ∫u dv = uv

Därifrån kan du enkelt härleda formeln. Det är också lätt att visualisera.

Källa: Sigma MathNet

Detta är en överförenkling av idén, som är mer allmän än detta, men detta är en vanlig förklaring (och ibland behandlas som ett informellt bevis). För lite mer diskussion, se Förklara detta bevis utan ord för integrering av delar till mig .

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *