Bästa svaret
Hur hittar jag ytan på en cirkulär ring?
En cirkulär ring är i huvudsak en torus.
Ytan för en torus är den som är gjord av en cirkel med radie r roterad kring en axel på ett avstånd R från centrum av cirkeln (R> r). Axeln passerar genom torusens mitt.
Således får vi en cirkulär ring med tjocklek 2r med inre radie Rr och yttre radie R + r.
Ett tvärsnitt av cirkuläret ringen ges nedan.
Tänk på en liten del av cirkeln till vänster, i en vinkel \ theta med linjen sammanfoga centrum av de två cirklarna vid de diametralt motsatta ändarna av tvärsnittet, under en vinkel d \ theta i centrum av cirkeln, som visas i figuren.
Bågen bildad av vinkeln d \ theta är r \, d \ theta.
Avståndet för denna båge från mitten av ringen är Rr \ cos \ theta.
När vi vrider denna båge runt axeln passerar genom mitten av ringen får vi en remsa av ytan på ringen som mäter 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
För att få ytarean på ring måste vi integrera detta från \ theta = 0 till \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limit\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad The ytan på den cirkulära ringen är 4 \ pi ^ 2rR.
Svar
Det finns två typer av cirkulära ringar jag har sett.
[1] Cirkelring med cirkulärt tvärsnittsområde.
i detta fall, för att hitta ytan, gör bara ett snitt tvärsnitt. Det skulle se ut som … cylindrisk stav.
Hitta ytan är
Radie av cylindrisk stång, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, där R\_1 och R\_2 är inre och yttre radie av cirkulär ring.
Längd på cylindrisk stång, l = 2 \ pi R\_m, där R\_m betyder radien på den cirkulära ringen, dvs. R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Yta = 2 \ pi rl = 2 \ gånger \ pi \ gånger \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ gånger (2 \ pi \ gånger \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
dvs. , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Cirkelring utan cirkulärt tvärsnitt: till exempel, ta ett rektangeltvärsnitt
om vi skär tvärsnittet
Jag tror att ytan lätt kan beräknas. Gör det själv!