Bästa svaret
Hur löser jag tan theta = -2?
Nåväl, för detta börjar vi med att använda arctan -funktionen, som är det inversa av tangent -funktion och hittar ett värde \ theta så att \ tan (\ theta) = -2.
Vi kan beräkna värdet, men detta är ett komplex ”förfarande med” imaginära ”siffror. Det ser ut som mycket besvär, så att använda en uppsättning bord skulle vara enklare, även om det kanske var något mindre exakt. Även om jag har en gammal uppsättning på mina föräldrars loft, är det för närvarande ingen nytta för mig, så låt oss söka på internet efter några bord. Vänta, om jag har tillgång till internet, varför inte se om internet kan göra beräkningen för mig?
Nåväl, dessa approximationer är nog mer exakta som vi behöver, men vi kommer att hålla fast vid dem för tillfället.
Kanske gillar du inte tanken på negativa vinklar? Oroa dig inte, det är lätt att konvertera dessa till positiva vinklar genom att lägga till 2π radianer / 360 °.
Således har vi 5.17603659 radianer / 296.5650512 °
Men vi är inte färdiga !
Funktionen arctan ”returnerar” bara vinklar i det exklusiva intervallet (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), dvs (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Finns det andra vinklar vars tangent -värdet är -2?
Först tangent -funktionen ger ett negativt värde när vinkeln är i andra och fjärde kvadranterna, nämligen när vinklarna ligger i de exklusiva områdena (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) och (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Vi har redan lösningen i den fjärde kvadranten, så vad är lösningen i den andra kvadranten? Det är öster, ta bara π radianer / 180 ° från lösningen i fjärde kvadranten.
Varför? Från sammansatt vinkelformel för tangent -funktionen har vi:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (\ pi) = 0
Detta ger oss vår andra lösning, 2.03444393 radianer / 116.5650512 °
För det andra är tangent -funktionen periodisk, med en period av 2π radianer / 360 °; detta innebär att lägga till valfri multipel av 2π radianer / 360 ° till vår vinkel returnerar samma tangent värde.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (2 \ pi) = 0
Således, med k för att representera vilket heltal som helst, är vår fullständiga lösningssats:
(2.03444393 + k \ pi) \ radianer eller (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Svar
Kom ihåg att sec (theta) = 1 / (cos (theta). Då har du
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, vilket är en kvadratisk ekvation i cos (theta). De två rötterna i denna ekvation är (3 + – sqrt (5)) / 2 som faktiskt är 1 + – phi, där phi är den berömda ”Golden Ratio” och är rötterna till det kvadratiska x ^ 2 – x – 1. Eftersom phi är en rot, dividerar denna ekvation med phi ^ 2 att den andra roten är -1 / phi. Och eftersom phi + 1 = phi ^ 2 har vi att rötterna till din ursprungliga ekvation är phi ^ 2 och 1 / phi ^ 2. Eftersom cosinus måste vara 1, måste vi använda den mindre roten .
Tänk nu på den forntida Fibonacci-serien 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 där (n + 1) termen är summan av de n: e och (n -1): e termerna. Det visar sig att phi och dess konjugerade rot är nära besläktade med denna serie. Sättet på vilket detta gäller här är detta:
Om den n: e Fibonacci-termen är F (n), då är phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Beviset är en induktion på n, med Fibonacci-definitionen F (n + 1) = F (n) + F (n-1) i det sista steget.) Du vill då visa att phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. De 6: e och 7: e F är 5 och 8. Så du har utvärderat
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Om du multiplicerar detta och rationaliserar den andra termen får du 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED