Bästa svaret
Svarade ursprungligen: Vad är en bra uppskattning av kubrot av 4?
Den n: te roten till N är en rot av x ^ nN = 0. Derivatet av x ^ nN är nx ^ {n-1}, så med tanke på en initial uppskattning, x, av roten, är en närmare uppskattning med Newtons metod
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
vilket är genomsnittet av ~~ \ understöd {x, x, …, x,} \_ {\ text {n-1 av dessa}} \ text {och} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Detta viktade genomsnitt är vettigt när du förstår att både x och \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} är uppskattningar av den n: e roten till N, att de är ”av” i motsatta riktningar , och att x är en n-1 gånger bättre uppskattning än \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Låt oss nu tillämpa metoden …
Låt N = 4. Låt x vara din uppskattning av kubroten på 4. Börja med en bra gissning, till exempel x = 2. Beräkna sedan
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~ ~ för att få en bättre uppskattning.
I det här fallet,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ ca 1.66666667 …
Upprepa sedan med x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ ca 1.5911111 …
Det här är ungefär 3 siffror, så låt oss göra det en gång till,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ ca 1.58740969614163 …
Detta är ungefär 6 signifikanta siffror. För varje iteration fördubblas antalet korrekta siffror ungefär.
Svar
Beroende på hur mycket du vet i matematik finns det två möjliga sätt-
- Använd logaritmer
- Använd iterativa metoder (Bisektionsmetod, Newton-Raphson-metod etc)
Logaritmer- Ta x = 2 ^ {1/3}
Så, logg (x) = 1/3 * logg (2)
logg (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (ungefär)
därför x = antilog (0.100343) = 1.2599 (ungefär)
Iterativa metoder- Jag visar med halveringsmetod, du kan prova andra om du vill. (Processen är nästan densamma.)
Låt x = 2 ^ {1/3}
Så, x ^ 3 – 2 = 0
Låt f (x) = x ^ 3 – 2
Vi väljer två värden så att en ger f (x) <0 och andra ger f (x)> 0
Vi ser att f (x) <0 för x = 1 och f (x)> 0 för x = 2. Så, x1 = 1, x2 = 2
Nu tar vi genomsnittet av dessa värden som nya x
Så, nya x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Vi ser att både 1,5 och 2 ger värden> 0, så vi kasserar 2, eftersom det ger värdet av f (x) mer från 0. Vi håller bara värdena av x som ger värdet av f (x) närmare 0
Så vi tar x1 = 1 och x2 = 1,5
igen hittar vi nya x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Nu ska vi kassera 1 som 1,25 ger värdet av f (x) närmare 0
så vi tar x1 = 1,25 och x2 = 1,5
Återigen hittar vi nya x som medelvärde för dessa 2 värden, ersätt i f (x) för att se dess tecken, och beroende på det tar vi våra nya x1- och x2-värden.
Upprepa denna process tills du är nöjd med ditt svar (final x).
P.S. Dessa processer kommer aldrig att ge exakt svar, du måste stoppa på ungefär en.