Bästa svaret
Tekniskt sett fungerar det inte som logg \, n = log\_ {10} \, n, inte log\_2 \ , n.
Men om a = b, logga då \, a = log \, b, eller hur? Så om n = n (vilket den uppenbarligen gör), så log\_2 \, n = log\_2 \, n. Nu, som log\_2 \, 2 = 1, kan vi också skriva log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, kan vi inte?
Och som log \, a ^ b = b \ cdot log \, a, vi ser att log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Det är en välkänd egenskap hos logaritmer.
Det sista steget behöver dig att inse att logaritmen är en monoton funktion. Det är avgörande; det betyder att om resultaten är desamma är argumenten också desamma. Det skulle inte fungera för t.ex. sinus … Men för monotona funktioner, om f (x) = f (y) då x = y. Så vi kan äntligen säga att 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
Svara
Använda egenskapen för loggar där \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, vi kan bevisa påståendet, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
Beviset:
Låt oss ställa in originaldeklarationen lika med y. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Nu kan vi tillämpa logbas 2 på varje sida. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Med hjälp av tidigare angiven egenskap för logg, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
Loggbasen b för b kommer alltid att vara lika med 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Därför, y = n