Bästa svaret
Hur du bevisar att identiteten beror mycket på hur du tänk på sinus och cosinus.
Om du tänker på sinus och cosinus som förhållanden mellan sidor av en rätt triangel (som i gymnasiet, där de lär sinus som motsatt över hypotenus), får du en rätt triangel med sidorna a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (den senare av Pythagoras triangel), och \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Om du tänker på sinus och cosinus som koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln (parametrerad av cirkelns båglängd), så uppfyller varje punkt x Definitionen av enhetscirkeln x ^ 2 + y ^ 2 = 1, så punkten (\ sin \ theta, \ cos \ theta) gör också, så \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus och cosinus kan också definieras som oberoende lösningar på differentialekvationen f = -f, med \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Eftersom det bara finns två oberoende lösningar på ekvationen , och det är lätt att se att f ^ {(n)} är en lösning, det måste vara så att \ sin x, \ sin x, \ sin x inte kan vara oberoende lösningar. Faktum är att \ sin x = – \ sin x, så \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, så \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Från detta kan vi implicit skilja \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x för att få 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Så värdet av \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x är en konstant och utvärderas vid 0 får vi \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, så \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus och cosinus kan också definieras av effektserien \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. En noggrann utvidgning av dessa kraftserier i uttrycket \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x kommer att visa alla de termer som involverar x ^ n avbryta och lämna bara den konstanta termen 1 som värdet.
Svar
För att tänka på detta måste vi överväga vilka trigonometriska förhållanden som är. Vi vet att sinusförhållandet är lika med vinkeln motsatt en sida över hypotenusen från en vinkel eller o / h. Vi vet också att cosinusförhållandet är lika med intilliggande sida till en vinkel över hypotenusen, eller a / h. Därefter ser vi att båda dessa förhållanden är kvadratiska vilket betyder att den trigonometriska identiteten, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, är ekvivalent med (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, vilket är lika med o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Eftersom vi har en gemensam nämnare kan vi kombinera dessa två ekvationer för att få, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Vi kan sedan titta på detta och inse att vi definierar alla sidor av en triangel. Vi vet av Pythagoras teorem att a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan se att eftersom var och en av dessa värden på o, a och h är alla sidor i en triangel, är de lika med a, b och c. Värdet av c i Pythagoras sats är hypotenusen i en rätvinklig triangel, så vi vet att h = c. Detta betyder att a och b är lika med o och a. Det spelar ingen roll vilken som tilldelas till vilken bokstav eftersom resultaten inte kommer att ändras. Vi kan sedan se att vi genom Pythagoras teorem vet att a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, vilket leder till o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Det betyder att vi kan ersätta täljaren för vår tidigare ekvation, vilket gör den ekvivalent med (h ^ 2) / (h ^ 2). Slutligen vet vi att alla variabler som är delade av sig själva är lika med 1, därför är denna ekvation lika med 1. Om vi återgår till den ursprungliga ekvationen har vi bevisat att sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.