Bästa svaret
För att bevisa detta använder du formeln sinus subtrahering.
dvs sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Här är a = π och b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Därför bevisat
Svar
Bevis 1:
Det enklaste sättet att bevisa
cos (π / 2 – x) = sin x
är att sätta A = π / 2, B = x i den trigonometriska formeln
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
och få
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Ersätter cos π / 2 = 0 och sin π / 2 = 1 i (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Bevisad)
Bevis 2:
Låt ABC vara en triangel i rät vinkel vid B. Låt AB vara basen och AC hypotenusen. Om vi betecknar vinkeln C med x, är basvinkeln A = (π / 2 – x) så att A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π eller 180 °.
För basvinkeln A är BC vinkelrät.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = bas / hypotenus = AB / AC ………… .. (3 )
För vinkeln C är AB vinkelrätt och därför
sin C = sin x = vinkelrät / hypotenus = AB / AC ……………. (4)
Liknande (3) och (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevisat)
Bevis 3:
Använd Eulers formel
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
som definierar symbolen eⁱᶿ för alla verkliga värden på θ. Här är i = √-1.
∴ Vi kan sätta θ = (π / 2 – x) i formeln och skriva
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nu e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i och e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Eftersom i² = -1]
Likvärdiga de verkliga och imaginära delarna,
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevisad)
och cos x = sin (π / 2 – x)
Avslutande anmärkningar:
Av de tre metoderna som presenteras här för att bevisa det givna påståendet bör den föredragna metoden vara bevis 1. Detta beror på att det är enkelt, rakt fram och snabbt. Kan göras mentalt av en genomsnittlig student på cirka 30 sekunder. I bevis 2 finns det utrymme för förvirring om vilken bas som är den högra vinkelräta som ska tas. Förutom att man behöver spendera extra tid på att rita en triangel, markera sidorna, vinklarna etc. Bevis 3 är bra; men inte många är bekväma eller bra på att arbeta med komplexa funktioner. Metoden innebär mer algebra än de andra metoderna; men det ger en bonus, nämligen: det bevisar formeln cos x = sin (π / 2 – x).