Bästa svaret
Ett komplext tal är ett tvådelat nummer. Den har en verklig del och en imaginär del. Vi brukar skriva det i form,
a + bi, där i är kvadratroten av en negativ, dvs. (-1) ^ (1/2)
Under tiden , är talets kvadrat själva antalet gånger. Detta betyder att
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Vi stötte på något liknande det här när vi beaktade faktorer av kvadratiska ekvationer. Det finns ett systematiskt tillvägagångssätt för att utvidga produkten med två delar i två delar. Du kanske har stött på akronymen ”FOIL”:
- Multiplicera de två F första termerna
- Multiplicera de två O uteruttrycken
- Multiplicera de två I nner-termerna
- Multiplicera de två L ast termer
Sammanfatta de fyra termerna för svaret
Använd samma FOIL -metod, med (a + bi) * (a + bi), få
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Vi kan omorganisera lite. De två mellersta termerna är desamma, så vi kan lista dem en gång, men multiplicerat med två.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Och nu ska vi titta på den sista termen och inse att kvadratet av en produkt kan skrivas som produkten av de separata rutorna. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Låt oss tillämpa den regeln:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Men “i” är kvadratroten till -1. Kvadraten på kvadratroten av ett tal är själva talet. Så (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Låt oss ansluta det här.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Den sista termen är fortfarande ful. Vi kan pendla den ”gånger negativa” till andra sidan och skriva om hela termen som en subtraktion.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Men tittar på uttryck följer vi inte formatet för en riktig del följt av en imaginär del. Vi har en verklig del, en imaginär del och en annan verklig del. Låt oss gruppera om de verkliga delarna.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Svar
Tänk först på ett komplext tal, a + bi som ett ordnat par (a, b ). I COMPLEX PLANE med en horisontell REAL AXIS där x-axeln normalt är och en vertikal IMAGINARY AXIS där y-axeln normalt är, grafer du punkten (a, b) på normalt sätt. Nu, avståndet från ursprunget till punkten (a, b), tror jag kallas för MODUL för komplexa nummer, låt oss kalla det r.
Vi vet att r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) av PYTHAGOREAN-satsen. (Ledsen för notationen men jag är begränsad med det.)
Också vinkeln mellan den positiva Real-axeln och linjen från ursprunget till (a, b) vi kommer att kalla Theta (låt oss använda T för det). (Det kallas ARGUMENTET för det komplexa numret)
Nu. Komplexnumret a + bi kan skrivas i POLAR FORM som
a + bi = r (Cos T + iSin T) sedan
a = r CosT och. b = r Sin T
Att ta kvadratroten av a + bi, använd den polära formen.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Så, för att göra detta enkelt, titta bara på diagrammet för det komplexa talet a + bi, med en linje från ursprunget till (a, b). Vrid nu linjen halvvägs tillbaka till x-axeln och förkorta den till kvadratroten så länge den Koordinaten för den slutpunkten är kvadratroten av det komplexa numret er kvadratrot är bara 180 grader därifrån.
För att bevisa det, låt oss ta kvadratroten av Z = -4
Grafen är en punkt på den negativa riktiga axeln , 4 enheter till vänster om ursprunget. Vinkeln T = 180 grader.
för att ta kvadratroten av -4, vrid bara linjen tillbaka till 90 grader (hälften av 180) och förkorta den till 2 kvadratroten på 4. Vi avvecklar två enheter upp på den imaginära axeln. SÅ en kvadratrot av -4 är 2i. Och den andra kvadratrot är -2i, 180 grader bort.
I symboler:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
och 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
För att få kvadratroten till (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radikal 2 över 2 + (i) radikal 2 över 2.