Bästa svaret
När jag tittar på de andra svaren som redan har lagts ut är jag inte alls nöjd med deras fullständighet. … och som en erfaren mattehandledare känner jag mig skyldig att ge ett kortfattat svar.
cos (2x) formeln som du angav är en av de tre dubbelvinkelidentiteterna för cosinus. Att lösa denna ekvation för sin (x / 2) resulterar i halvvinkelidentiteten för sinus.
Observera att där Jag markerade *. En av de mindre kända reglerna för trigonometri indikerar att du på motsvarande sätt kan dela alla trig-funktionsargument med samma konstant på båda sidor av en ekvation. I själva verket kan du dela vilken som helst konstant. men det här kanske inte alltid är användbart. Försök att lösa ovanstående ekvation för sin (x / 3), använd sedan denna för att hitta sin (pi / 12). Det fungerar vackert.
För att faktiskt använda sin (x / 2) -formeln måste du manipulera den givna ekvationen med en ekvivalent, komplex fraktion som visas här:
Naturligtvis visas detta i den första bilden ovan. Förutom att veta / härleda halvvinkelidentiteten är den större utmaningen faktiskt att använda den.
Svar
I. Låt oss använda en problemlösning som kallas ekvivalens .
Med denna metod väljer vi ett fördelaktigt objekt eller en uppsättning objekt och ser på dem från olika … vinklar med hopp om att vi kan få ett fruktbart förhållande i processen.
Ett sådant objekt eller uppfattning kan vara kvadratisk yta .
Vi börjar med en rätt triangel vars längd vars hypotenus är en enhet, väljer en vinkel x och markerar längderna på triangelns sidor som \ cos x, som vi är överens om att behandla som triangelns höjd och \ sin x, som vi är överens om att behandla som triangelns bas :
Sedan antar vi att det är ett bevisat faktum att kvadratytan av en triangel är den halverade produkten av dess bas e över höjd:
A \_ {\ triangel} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Nästa steg är ganska utmanande för i vakuum vet vi inte riktigt exakt vad som väntar oss på andra sidan av 2 \ sin x \ cos x. Ur upptäckarnas synvinkel stirrar vi in i det okändes avgrund. Så kallar det intuition, en glad tanke eller bara en näsa men vi resonerar så:
ok, vi har hittat ett sätt att fästa ett konkret begrepp (ett kvadratiskt område) till en annars abstrakt och det, ganska mystiskt uttryck men – inte precis eftersom vi fortfarande måste arbeta med faktorn 2 där inne.
Hur kan vi göra det?
Tja, vad sägs om att angränsa till de två identiska trianglarna tillsammans?
Då förblir höjden eller \ cos x i vår lingo densamma men vi vinner genom att svetsa de två identiska baserna, \ sin x i vår lingo, i en:
Observera att vi pedantiskt följer / tolkar ditt uttryck.
Nu är det dags för ekvivalens att stå hög och räknas. Den nya sammansatta formen är fortfarande en triangel och dess kvadratiska yta är fortfarande:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
men vi har rätt att se på samma form annorlunda: om vi behandlar sidan av längd 1 som en bas är vinkelrätten mot den, visas i rött, höjden. Men vinkeln på toppkanten är 2x. Därför är den nya höjden per definition:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Därför kan samma kvadratyta i samma triangel vara återges som:
A \_ {\ triangel} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Men ( 2 ) och ( 4 ) representerar samma storlek. Därför:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
varifrån vi upptäcker att:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. För en liknande men mer skrivkunnig behandling börja med samma triangel som ovan och dubbla längden på dess \ sin x sida genom att konstruera en cirkel \ sigma med centrum vid B och radien BA:
Men nu skär AC \ sigma vid E (så länge x 5 ^ {\ circ}) och antingen av Thales Theorem eller av Euclids B3P31 (vinkeln i en halvcirkel är rätt) vinkeln vid E är rätt:
och eftersom de högra trianglarna ABC och AED delar en gemensam vinkel \ theta följer det att \ vinkel ADE = x och från \ triangel AED för ED har vi:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Men från rätt triangel CED för ED har vi:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
och därför:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(du kanske tänker på detta en tunnare ekvivalens eftersom vi har använt längden på ett linjesegment för att överbrygga klyftan mellan de två bitarna tillsammans)
III. Den här versionen kan med all sannolikhet verka för avancerad men jag kommer att visa den ändå och av två skäl. En anledning är att visa att det inte bara finns många olika sätt att få samma resultat i matematik utan att vissa av dessa sätt kan verka överraskande. Den andra anledningen – du kommer att ha något att se fram emot att lära dig.
Vid någon tidpunkt i din matematiska utbildning kan du stöta på dessa objekt som heter komplexa tal . Med dessa siffror kan våra två trigonometriska funktioner registreras enligt följande (på grund av en stor schweizisk matematiker Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
där e är Eulers nummer och jag har den här egenskapen att jag ^ 2 = -1 men ignorerar allt detta ett ögonblick och bara rakt på multiplicera ovanstående två fraktioner enligt reglerna för medelskolealgebra:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
enligt ( 5 ).