Bästa svaret
Börja med att observera att sin 35 ° är nära sin 30 ° = 1/2. Så vi vet omedelbart att det är ungefär 1/2. Det är cirka 7\% av det faktiska värdet.
Låt oss försöka få en bättre uppskattning. Av vinkeladditionens identitet,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Nu, eftersom 5 ° = π / 36 är en relativt liten vinkel, kan vi använda ungefärliga sin x ≈ x och cos x ≈ 1. Så
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nu π ≈ 22/7 och (√3 / 2) ≈ 7/4 eftersom 49/16 ≈ 3. Så vi får
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Detta skiljer sig från det verkliga värdet med mindre 1\%.
Ett annat tillvägagångssätt är att beräkna det med de första partermerna i Taylor-seriens expansion av sin x . Detta är korrekt till bättre än 0,1\%, men svårare att beräkna för hand än 83/144.
Svar
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nu är Sin (3x), från den allmänna formeln, lika med 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, därmed sätter x = 10 grader, vilket ger Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 och därför,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 eller, manipulera denna ekvation och sätta Sin (10) = y, vi får
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Lös denna kubik med en numerisk iterativ metod som Newton-Raphsons metod för hand för att få, efter en slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Uppenbarligen kan du gå till mindre siffror beroende på vilken precision du behöver.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Lägg värdena för Cos (10) och Sin (10) i (1) ovan för att få:
Sin (35) = 0.57357643639 enligt begäran.