Bästa svaret
Eftersom ellipsen är en klämd cirkel kan vi betrakta en motsvarande cirkel. Detta skulle bara vara en approximation och inte det exakta värdet av ellipsens omkrets.
Vi vet att ekvationen för en ellips är:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
När a = b = r blir detta ekvationen för en cirkel. Så jag kunde skriva ekvationen för cirkelns ekvivalenta radie i termer av a och b.
I stället tar vi medelvärdet av a och b, vi skulle få en bättre approximation genom tar rotens medelkvadrat av a och b.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Därför skulle ellipsens ungefärliga omkrets vara:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Det finns mycket bättre approximationer där ute men jag tror att det skulle vara tillräckligt.
Hoppas det hjälpte.
Svar
Låt oss försöka om vi kan hitta omkretsen på en ellips.
En ellips med halv huvudaxel a och halv mindre axel b har ekvation:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
En graf (vi måste nöja oss med målarfärg här, min matematikprogramvara behöver licensförnyas):
För att hitta omkretsen behöver vi uttrycka en del av denna omkrets \ text {d} s som en funktion av \ text {d} x, \ text {d} y och förhoppningsvis anländer vid något användbart uttryck.
Om vi antar att vi kan approximera \ text {d} s med en rak linje, kan vi tillämpa Pythagoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ höger) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Jag antar att vi alltid tar \ text {d} x> 0, eller så flyttar vi från vänster till rätt längs huvudaxeln.
Allt som återstår är att annonsera d dessa små bidrag av båglängd. Vi kan överväga x \ i [0, a] och multiplicera med 4 eftersom vår ellips är symmetrisk i x, y-axeln.
Vi hittade:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ höger) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Om vi hittar ett (trevligt) sätt att uttrycka:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
vi är i affärer.
Men vi har redan uttryck (1), som relaterar y till x. Dags att beräkna (3), jag använder implicit differentiering:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ höger) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Vi behöver bara kunna skriva detta med x. Vi använder (1) igen:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Ersätt (5) till (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ höger) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Ersätt i (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Det finns några alternativ för att skriva om denna integral. Ett alternativ skulle vara att ställa in x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z och en skulle nå fram till:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
En annan metod skulle vara att använda en parametrisering av ellipsen i följande form:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Och detta leder till en elliptisk integral av den andra typen, vilket är mer eller mindre standardmetoden:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
med
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
ellipsens excentricitet.
Jämförelse av uttrycken (6,7) och (8) ser vi att man kanske föredrar (8) framför (6, 7). Det sista uttrycket är inte bara enklare i dess parameter e utan beter sig snyggt. I uttryck (6,7) har vi fortfarande ett problem när x \ till a, z \ till 1.
Men det finns inget slutet formuttryck för resultatet. För en cirkel har vi e = 0 och (8) minskar snyggt till 2 \ pi a, som det är tänkt att göra. Detsamma gäller för (6,7).