Bästa svaret
Jag skulle använda identiteten \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, eller
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Så \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Använd nu identiteten \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, eller
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Så vi får
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Svar
Denna övning antyder att man använder halvvinkelformler för att producera nya uttryck av lägre grad. Det är svårt att se detta utan sammanhang, så notera att dessa problem alltid kan lösas med halvvinkelformler.
Således kan vi bryta det ursprungliga uttrycket i produkten av två (sin x) ^ 2 termer och fortsätta att använda den andra formeln i bilden som jag matchade.
Multiplicera och expandera för att få
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Åh nej! Det verkar som om vi inte är klara! Tja inga bekymmer, ta en titt på den första formeln på min anpassade bild och ersätt den kvadratiska termen med uttrycket. Lägg märke till att vi börjar med en 2x och måste fördubbla den till 4x istället för exakt vad som står i formeln. Byt sålunda ut och ge:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Skaffa en gemensam nämnare och flytta ut den med 1 / 4, vilket ger en 1/8 på utsidan.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Kombinera liknande termer för vårt slutliga svar
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Utmärkt fråga!