Bästa svaret
A2A.
Värdet för tan40 ° kan inte hittas med standard trigonometrisk summa, skillnader eller submultiple vinkelformler. Men om du är bekväm med att lösa kubiska ekvationer kan den här metoden komma till nytta –
Vi vet,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Ersätter x som 40 ° i denna ekvation—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Skriv tan40 ° som y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° är ett standardvärde och är lika med – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Vid lösning av denna ekvation erhålls tre värden varav det positiva värdet ger solbränna 40 °.
Därav ungefär, tan 40 ° = 0,8394.
Svar
Vad är värdet av \ tan 40 ^ o?
Vi kan hitta värdet av \ tan 40 ^ o till vilken önskad noggrannhetsnivå som helst med hjälp av Taylor-serien av \ tan x.
Taylor-serien för en verklig eller komplex värderad funktion f (x) som är oändligt differentierbar vid en verklig eller komplex punkt a ges av ,
f (x) = f (a) + \ frac {f ”(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” ”(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f ”” ”(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Detta kan skrivas kompakt som f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad där f ^ {(n)} (a) betecknar n ^ {th} -derivatet av f (x) vid x = a.
Det kan noteras att vid trigonometriska funktioner måste vinkeln uttryckas i radianer och inte grader.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ höger) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Med x = \ frac {2 \ pi} {9} och a = \ frac {\ pi} {4} har vi (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Vid a = \ frac {\ pi} {4} är \ tan x oändligt differentierbar.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f ”(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f ”\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” ”(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ”” (a) = f ”” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f ”” ”(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sek ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ”” ”(a) = f” ”” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ höger) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ vänster (\ frac {\ pi} {36} \ höger) ^ 3 \ ca 0,83892575.
Värdet av \ tan (40 ^ o) som anges av Excel är 0,83909963.
Det kan ses att även med bara fyra termer i denna oändliga serie är felet bara 0,0272 \\%.
Om större noggrannhet är behövs kan vi ta ytterligare villkor för den oändliga serien.