Bästa svaret
Det finns två sätt att avgöra om en matris (och därmed det ekvationssystem som matrisen representerar ) har en unik lösning eller inte.
a. Cramers Method.
Konvertera ekvationssystemet till matrisform AX = B där A = Co-effektivitetsmatris, X = variabelmatris och B = resultatmatris.
Benämna koefficientmatrisen som D. För en 3 x 3-matris, ersätt den första, andra och tredje kolumnen i D-matrisen med resultaten Kolumnmatris för att få matriserna Dx, Dy och Dz.
- Om D inte är lika med 0 och om minst en av Dx, Dy och Dz inte är lika med 0, är ekvationssystemet konsekvent och har en unik lösning.
- Om D = 0 och om Dx, Dy och Dz = 0 men om minst en av beståndsdelarna i den koeffektiva matrisen (aij) eller minst en av de 2 x 2 minderåriga inte är lika med 0, är ekvationssystemet konsekvent och har oändligt många lösningar.
- Om D = 0 och minst en av Dx, Dy och Dz inte är noll, är ekvationssystemet inkonsekvent (Ingen lösning).
Således ger ekvationssystemet en unik lösning endast när värdet av determinanten är inte lika med noll.
b. Rankningsmetod
Skriv ner ekvationssystemet i matrisformat AX = B där A = Koeffektivitetsmatris, X = Variabelmatris och B = Resultatmatris.
Ta reda på rangordningen för matrisen A.
Skriv ner den förstärkta matrisen [A, B]
Ta reda på rankningen för den förstärkta matrisen [A, B]
- 1. Om rangordningen för matris A inte är lika med rankningen för den förstärkta matrisen är ekvationssystemet inkonsekvent och har ingen lösning.
- Om rangordningen för båda matriserna är lika och lika med antalet okända variabler i systemet och om matrisen A inte är singular, är ekvationssystemet konsekvent och har en unik lösning.
- Om raden för båda matriserna är lika men om raden är mindre än antalet okända, då är ekvationssystemet konsekvent och har oändligt många lösningar. Så det finns bara tre möjligheter – inkonsekvent och ingen lösning, överensstämmer med unik lösning, överensstämmer med oändligt många lösningar.
Så systemet ger en unik lösning endast när rangordningen för Co-efficients-matrisen = Rang för den förstärkta matrisen = Antal okända.
Svar
Teorin säger att Ax = b har en unik lösning om \ det (A) \ neq0 och annars har den ingen lösning eller oändligt många. Matrisen kallas singular i så fall
Övning säger dock att detta nästan aldrig händer. Så varje uppsättning ekvationer kan lösas? Ja och nej. Om matrisen är nästan singular kan du få en lösning, men det är inte meningsfullt. Anledningen är att små fluktuationer på höger sida kan orsaka enorma fluktuationer (av flera storleksordningar) i lösningen. Systemet kallas dåligt konditionerat i så fall. Detta är en dålig sak, för under beräkningarna kan du förlora betydande siffror på grund av subtraktion av nästan lika stora mängder.
Hur kan du berätta? villkornummer \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | är det teoretiska måttet. Det bästa värdet är 1, ju större desto sämre. Men det är inte så lätt att beräkna. Ett praktiskt sätt att göra det är att ta en liten slumpmässig störning på din högra sida och jämföra de två lösningarna. Om de skiljer sig väsentligt har du ett dåligt konditionerat system.