Bästa svaret
Låt oss räkna förekomsten av siffran 2 först i 1 till 10. Det finns bara 1 där, nämligen för siffran 2.
Ta sedan nästa tio siffror och räkna förekomsten av siffran 2 i dem, och vi får 2, nämligen i siffrorna 12 och 20.
På samma sätt förekommer det 10 gånger i siffrorna 21 till 30, eftersom det förekommer två gånger under 22.
Fortsätter på samma sätt för följande siffror upp till och inklusive 120, vi ta reda på att den existerar en gång vart tio nummer plus en gång till, totalt 10.
Mellan 121 och 130 förekommer det igen tio gånger, eftersom det återkommer två gånger i 122.
Från 131 till 190 kommer siffran 2 en gång var 10: e tal, totalt 6.
Och de senaste tio siffrorna (191–200) förekommer det två gånger.
Lägga till alla förekomster tillsammans vi finner att siffran 2 förekommer 41 gånger, nämligen i siffrorna 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 och 200.
Svar
Jag visar dig två regler, det kan finnas många.
Mellan dem är den första lätt och den andra är mer matematisk och vetenskaplig:
Process 1:
Om vi gör n ^ 5 kommer den sista siffran i resultatet alltid samma som den sista siffran i n.
Nu, om vi lägger till (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Den sista siffran kommer som den sista siffran i tillägget (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Nu,
Den sista siffran i tillägget (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Den sista siffran i \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Den sista siffran i \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Så, den sista siffran i tillägget,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) blir Noll.
Process 2:
Vi vet att
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Så, för (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Svaret blir,
161708332500
Så den sista siffran är noll .
PS: Vi vet att 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a skrivs matematiskt som \ Sigma n ^ a. Den allmänna formeln för effektsumman är känd som Faulhabers formel (även känd som Bernoullis formel):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ understrykning {k-1} n ^ {p-k + 1}
där, \ textbf {p} ^ \ understrykning {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} kallas en fallande faktor och B\_ {k} är Bernoulli-siffrorna.
Med den formeln kan vi härleda vilken specifik formel som helst för kraft summan, som den anges nedan:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Tack för att du läste mitt svar. Hoppas det hjälper.