Bästa svaret
Om jag försöker ansluta detta till min miniräknare får jag något i vetenskaplig notation, eftersom svaret är för stort för att miniräknaren ska kunna visas. I praktiken visar räknaren mig början på numret och jag bryr mig bara om slutet på numret.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Jag vet att ett tal får noll i slutet av det om talet har 10 som en faktor. Till exempel är 10 en faktor 50, 120 och 1234567890. Så jag måste ta reda på hur 10 när som helst är en faktor i expansionen av 200 !.
Men eftersom 5 × 2 = 10, jag måste redogöra för alla produkter från 5 och 2. Om man tittar på faktorerna i ovanstående expansion finns det många fler tal som är multiplar av
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
än multiplar av
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Det vill säga om jag tar alla siffror med 5 som faktor kommer jag att ha mer än tillräckligt med jämna siffror för att para ihop dem för att få faktorer på 10 (och en annan efterföljande noll på min faktor). Så att hitta antalet gånger 10 är en faktor, allt jag verkligen behöver oroa mig för är hur många gånger 5 är en faktor i alla siffrorna mellan 1 och 200.
Okej, hur många multiplar av 5 finns det i siffrorna 1 till 200? Där ”s 5, 10, 15, 20, 25, …
Åh, jävla; låt oss göra det på kort väg: 200 ÷ 5 = 40 , så det finns fyrtio multiplar av 5 mellan 1 och 200.
Så blir svaret 40 .
Men vänta: 25 är 5 × 5, så varje multipel av 25 har en extra faktor av 5 som jag behöver redogöra för. Hur många multiplar av 25 är mellan 1 och 200?
Eftersom 200 ÷ 25 = 8 , det finns åtta multiplar av 25 mellan 1 och 200.
Och vänta en stund, det finns också 125 som är 5x5x5. Så vi måste lägga 1 till antalet nollor.
Så nu är det totala antalet nollor = 40 + 8 + 1, betyder 49.
Så i 200! det finns 49 efterföljande nollor. Och kolla inte det med miniräknare, eftersom miniräknare inte kan göra det.
Svar
Efterföljande nollor är en sekvens av 0 ”s i decimalrepresentationen av ett tal efter som inga andra siffror följer. Det kan lösas på två sätt –
- Låt oss titta på hur efterföljande nollor bildas i första hand. En efterföljande noll bildas när en multipel av 5 multipliceras med en multipel av 2. Nu är allt vi behöver göra att räkna antalet 5 och 2 i multiplikationen.
Varje par av 2 och 5 kommer att orsaka en efterföljande noll. Eftersom vi bara har 24 5 kan vi bara göra 24 par av 2 och 5 så antalet efterföljande nollor i 100 faktoria är 24 .
2. Frågan kan också besvaras med den enkla formeln nedan:
Ovanstående formel ger oss det exakta antalet 5s i n! eftersom det tar hand om alla multiplar av 5 w som är mindre än n. Inte bara att den tar hand om alla multiplar av 25, 125, etc. (högre krafter på 5).
Tips: I stället för att dela med 25, 125, etc. (högre krafter på 5); det skulle vara mycket snabbare om du delade med 5 rekursivt.
Låt oss använda detta för att lösa några exempel:
Q) Vad är antalet efterföljande nollor i 100! ?
[100/5] = 20
Nu kan vi antingen dividera 100 med 25 eller resultatet i ovanstående steg, dvs. 20 med 5.
[ 20/5] = 4. Det är mindre än 5, så vi stannar här.
Svaret är – 20+ 4 = 24 (direkt svar på bara några sekunder)
F) Vad är antalet efterföljande nollor i 200! ?
[200/5] = 40
Nu kan vi antingen dela 200 med 25 eller resultatet i steget ovan, dvs. 40 med 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Det är mindre än 5, så vi stannar här.
Svaret är – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Vad är antalet efterföljande nollor i 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Det är mindre än 5, så vi stannar här.
Svaret är – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Om du har några frågor är du välkommen att ställa i kommentarsektionen.