Bästa svaret
Ja, det är Monty Hall-problemet i förklädnad. Att ”byta” i det problemet är bara ett sätt att betona att en sannolikhet är annorlunda än den andra. I det problemet skulle du hellre ha dörren som värden kunde ha öppnat, men inte. Här skulle du hellre vara den fånge som övervakaren kunde ha nämnt, men inte gjorde det. Samma sak.
A är fel. Han tror att han bara lärt sig information om B, och ingenting om A eller C. Men han lärde sig något om C: övervakaren kunde ha namngett honom, men inte t. På grund av myntlåset, 50\% av tiden där A skulle ha fått benådning, skulle övervakaren ha kallat C. Men han skulle namnge B 100\% av tiden där C skulle ha fått benådning. Det här förhållandet – 50\% till 100\% – är det som gör det nu dubbelt så sannolikt att C kommer att bli benådad.
Historisk sida: Problemet du citerade var ursprungligen publicerad i oktober (tror jag) 1959-utgåvan av Scientific American av Martin Gardner. I samma utgåva bad han om ursäkt för att han fick fel svar på denna fråga:
- Mr. Smith har två barn. Åtminstone en av dem är en pojke. Vad är sannolikheten för att båda barnen är pojkar?
Han hade ursprungligen sagt att svaret var 1/3. Men frågan som presenteras är tvetydig; det beror på hur du lärde dig att minst ett barn var pojke.
Om det berodde på att du frågade ”Är åtminstone en pojke? ”, då är 1/3 korrekt. Men om det bara var ett slumpmässigt faktum som du lärde dig, vilket betyder att du också kunde ha lärt dig ”åtminstone en är en tjej”, då är svaret 1/2.
Och i själva verket är Two Child Problem bara en variant av Three Prisoners Problem med fyra fångar istället för tre, eller Monty Hall Problem med fyra dörrar. Gardner ställde de tre fångarna för att klargöra hur dessa problem fungerar, och inkluderade delen om myntluckan specifikt för att visa hur det är den process genom vilken du fick informationen, inte informationen ensam, som avgör svaret.
Svar
De tre fångarnas problem kan förstås lättare om vi håller oss till villkorliga sannolikheter snarare än bakre sannolikheter.
Så tre fångar A, B, C är på dödsraden och en av dem har benådats baserat på ett chansspel. Fången A ber fängelset åtminstone avslöja namnet på en av de andra fångarna, som inte har benådats.
Genom att ställa denna fråga har A skapat två grupper.
- Grupp I – involverar A ensam.
- Grupp II – involverar B och C.
Motsvarande dessa två grupper finns två händelser:
- Någon från grupp I är benad. (A ensam).
- Någon från grupp II är benådad (B eller C).
Eftersom båda dessa händelser är equiprobable, sannolikheten för båda händelserna är \ frac {1} {2}. Inom den andra gruppen är sannolikheten för antingen B eller C som väljs igen \ frac {1} {2}.
Befälhavaren utser nu B till den fånge som inte har fått benådning.
Eftersom fängelset inte har sagt något om fånge C betyder detta att sannolikheten för att den andra händelsen (någon som är benådad från gruppen som involverar B och C) fortfarande är densamma – \ frac {1} {2}.
Men eftersom B har eliminerats betyder det att sannolikheten för att C blir benådad från grupp II nu har ökat från \ frac {1} {2} till 1 !!! Det är hans chans att få benådning har fördubblats !!!
Å andra sidan, av samma resonemang, eftersom fängelset inte har sagt något om fånge A, sannolikheten för den första händelsen (någon som benådas från den första gruppen) är fortfarande densamma – \ frac {1} {2}.
Fången A: s fråga ger inte A någon ny information om hans öde. Å andra sidan vet fånge C (som A har gett denna information) nu att hans chanser att få benådning har fördubblats.
Detta är allt du behöver veta för att förstå kärnan i de tre fångarna Problem. Men om du vill verifiera din intuition med Bayes formel. Du kan göra så som visas nedan:
Bayes Formulation of the Three Prisoners Problem
Låt A, B och C vara de händelser som motsvarar fångarna A, B och C som befrias respektive.Och låt b vara händelsen att fängelset säger till A att fånge B ska avrättas, då, med Bayes ”-sats, är den bakre sannolikheten för att A bli benådad:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Sannolikheten för C förlåtas är å andra sidan:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Således förblir den bakre sannolikheten för att A bli benådad densamma som apriori-sannolikheten (\ frac {1} {3}), medan C för benådning fördubblas.
Du kan se effekten av de villkorliga sannolikheterna på de bakre sannolikheterna i termen P (b | A) (\ frac {1} {2}) och P (C | b) (1).