Bästa svaret
Så här skulle jag komma fram till en ungefärlig lösning:
Värdet på x måste ligga i intervallet [-1,1] som utanför det intervallet x ^ 2> 1 som ligger utanför intervallet \ sin {x}. Det kan begränsas ytterligare till intervallet [0,1] som när -1 \ le x , \ sin {x} <0 medan x ^ 2> 0. Inom intervallet [0,1] finns en triviell lösning för x = 0.
För x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } medan x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Eftersom vi för mycket större x tydligt har x ^ 2> \ sin {x} måste det finnas minst en lösning i intervallet (0,1]. Dessutom har \ sin {x} på detta intervall ett negativt andra derivat, medan x ^ 2 har ett positivt andra derivat, så det finns högst en lösning i intervallet (0,1]. När kurvan för x ^ 2 överträffar den för \ sin {x} kan den inte korsa tillbaka igen.
Så det finns exakt en lösning i (0,1). För att uppskatta den lösningen använder du de två första termerna i Taylor-serien för sinusfunktionen för att få x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Detta minskar till x ^ 2 + 6x-6 = 0 eller x = \ sqrt {15} -3 som den ungefärliga lösningen. Till sex decimaler, \ sqrt {15} -3 \ ca 0,872983.
Som jämförelse ger en numerisk approximation lösningen till sex decimaler som x = 0,876726. Så vår uppskattning med bara två termer i Taylor-serien var ganska nära, men inte perfekt.
Svar
För en fråga som denna är det vanligtvis en bra idé att rita in funktionerna för att få en uppfattning om hur de beter sig. ume du vill ha svar på riktiga siffror.
Vi kan lägga 2x till båda sidor och sedan dividera med 2 för att få x = 1,3 \ sin (x). Sinusfunktionen är begränsad mellan -1 och 1, så vi behöver bara tänka på värdena x mellan -1,3 och 1,3. Grafen y = x är bara en rak linje. Grafen y = 1.3 \ sin (x) lutar uppåt mellan -1.3 och 1.3, eftersom 1.3 är mindre än en rät vinkel och sinus ökar från – \ pi / 2 till \ pi / 2.
Om du känner till någon kalkyl, vet du att hastigheten med vilken 1.3 \ sin (x) ökar ges av 1.3 \ cos (x). Denna förändringshastighet ökar och minskar sedan igen (vilket kallas en böjningspunkt). Grafen för y = 1.3 \ sin (x) är konkav upp från -1,3 till 0 och sedan konkav upp från 0 till 1,3. Det är relativt lätt att upptäcka att x = 0 är en lösning. Eftersom lutningen på y = 1.3 \ sin (x) är större än lutningen på y = x vid den punkten, korsar den underifrån till ovanifrån där. Nu vid denna punkt bestämde jag mig för att räkna ut värdet på 1.3 \ sin (1.3). Kom ihåg naturligtvis att sinusfunktionen gäller vinklar som ges i radianer. Det är mindre än 1,3.
Vid denna tidpunkt kan du dra slutsatsen om situationens natur. De två funktionerna korsar varandra tre gånger från -1,3 till 1,3. Ring den positiva lösningen c. På grund av symmetri (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) är den negativa lösningen -c. Konkaviteten på 1.3 \ sin (x) hindrar det från att finnas några andra lösningar. Så allt som återstår är att ta reda på vad c är.
Det som vissa elever tycker är udda är att det ofta inte finns någon ”sluten form” för lösningen av en ekvation som denna. Vi kan säga att det finns en lösning mellan 0 och 1.3, men jag tror att vi i det här fallet inte har någon formel för det när det gäller bekanta funktioner. Så om du vill ta itu med det måste du bestämma vad du behöver veta om det.
Om du vill beräkna det med viss noggrannhet finns det några metoder. Det finns en naiv strategi som fungerar i det här fallet. Om du tar ett värde på x mellan 0 och 1.3, om det är mindre än lösningen är 1.3 \ sin (x) större, och om det är större än lösningen är 1.3 \ sin (x) mindre. Så om du fortsätter att ersätta ditt värde på x med 1.3 \ sin (x) närmar sig roten. Så säg att jag börjar med x = 1.0. Då 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … så använd det som värdet på x nästa. Denna process konvergerar på lösningen, men inte så snabbt eftersom varje steg bara för med värdet något närmare lösningen.
En andra metod är att dela upp intervallet. Så vi kan försöka utvärdera 1.3 \ sin (1.1) och 1.3 \ sin (1.2) för att få den första decimalen i lösningen. Eftersom 1.3 \ sin (1.1) <1.1 medan 1.3 \ sin (1.2)> 1.2 verkar roten ligga mellan 1.1 och 1.2. Då kan vi prova 1.3 \ sin (1.15) för att se om lösningen är mindre eller större än 1,15. Denna metod konvergerar inte heller så snabbt, även om den fungerar bra i vissa situationer där den första metoden inte gör det.
Det finns några andra metoder ( Rot- hitta algoritm – Wikipedia ) särskilt secantmetoden och Newtons metod. De konvergerar snabbare.
Secant-metoden håller två approximationer på vardera sidan, till exempel 1.1 och 1.2. Då låtsas vi att graferna är båda raka linjer för att få en ungefärlig lösning. Beräkningen är inte lika enkel, men inte riktigt inblandad.
Newtons iteration gör att du drar en tangentlinje mot kurvan för att ungefär var de två kurvorna korsar och sedan upprepar. Om du börjar med ett värde som är tillräckligt nära roten, konvergerar det i allmänhet ganska snabbt.Antalet noggrannhetssiffror fördubblas vanligtvis med varje steg (även om det verkar osannolikt att någon vill ha många siffror med precision till roten).