Bästa svaret
Uttrycket i det postade frågan är inte riktigt korrekt.
Binomialteorem
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
håller för alla komplexa tal x och y och icke-negativa heltal n .
Låt x = 1 och y = -1. På höger sida har du önskade alternerande skillnader och summan av kombinationer (vad du kallade välj s). På vänster sida har du 0 ^ n, vilket du uppenbarligen antar är 0. Men binomialsatsen gäller, som sagt ovan, för alla icke-negativa heltal n , som inkluderar 0, i vilket fall vänster sida är 0 ^ 0 = 1 – ett fall du inte tillät.
Om du inte tror mig, prova den här triviala övningen: Skriv ut de första raderna i Pascals triangel. Formeln ”välj” i den upplagda frågan motsvarar att välja vilken rad som helst och från början till vänster (som alltid är 1, oavsett vilken rad du väljer), subtraherar du nästa element till höger och fortsätter alternerande att lägga till och subtrahera alla element i den raden. Observera att med raden som innehåller 1 1 och raden som innehåller 1 2 1 och raden som innehåller 1 3 3 1 ger alla 0 med denna process. Vad händer dock på den översta raden som bara innehåller 1? Vi börjar med den 1 och förbereder oss för att subtrahera nästa element, men det finns inte nästa element så vi är redan färdiga med resultatet 1, inte 0. Det finns inget behov av att utesluta den översta raden från konceptet att de alternerande skillnaderna och summor ger 0 ^ n för alla rader.
Om du är en av dem som har en hangout om 0 ^ 0 = 1, behöver du verkligen komma över den hangupen, åtminstone i sammanhanget av heltalsexponenter. Om du ser 0 ^ 0 som odefinierad, kastar du lika bra binomialsatsen och ovanstående bevis, för att du inte kunde använda binomialsatsen för att utvärdera (0 + y) ^ {n} och (x + 0) ^ { n}, oavsett värdet av n , eftersom den sista termen i den binomiella expansionen för den tidigare makten och den första termen i den binomiala expansionen för den senare makten båda involverar 0 ^ 0, så du måste kalla den summan odefinierad och lägga till den annars helt onödiga och dumma uteslutningen att binomialsatsen inte gäller x = 0 och för y = 0. Du skulle också bryta mot regeln om tom produkt, vilket indikerar att produkten av inga faktorer måste vara det multiplikativa identitetselementet , 1. Förhållandet 0! = 1 är också viktigt för binomialsatsen, liksom för många andra platser – men med 0! man multiplicerar tillsammans inga faktorer som börjar på 1, så det är en tom produkt, och det är i slutändan tomproduktregeln som säger oss att 0! = 1. Samma regel om tom produkt berättar att x ^ 0 = 1 för alla komplexa tal x , och värdet av x är inget som berör tomproduktregeln, så ja, x = 0 gäller lika bra som alla andra värden för x – inga undantagsfall motiverade på något sätt.
Det finns många andra skäl för att betrakta 0 ^ 0 = 1 åtminstone i sammanhanget med heltalsexponenter: den formella definitionen av polynomier och kraftserier med using-notering och manipulation av sådana polynomier och kraftserier, olika kombinatoriska problem och andra Det finns inget ljudmotiv för att betrakta 0 ^ 0 har något annat värde än 1 eller att betrakta det som odefinierat, åtminstone i samband med heltalsexponenter.
Vissa av er kanske blir lite bekymrade över jag skriver sådant eftersom det bryter mot allt du har lärt dig – kanske så mycket nöd att du har svårt att till och med överväga den möjliga giltigheten av det jag har skrivit, och du håller på att skriva en svarskommentar för att berätta var jag har fel. För att förhindra att du ser dumt ut med felaktiga kommentarer kommer jag att fortsätta och ta upp det jag förväntar mig skulle komma:
- ”Min lärobok och min lärare sa att 0 ^ 0 är odefinierad, och de kunde inte ha fel. ” Jag hatar att behöva berätta för dig och få din bubbla att sprängas angående dina lärare och läroböcker, men det finns många ämnen i gymnasieskolan i matematik (och andra ämnen) som är förenklade så att de är felaktiga. Mina kommentarer här är inte avsedda som en nedläggning av gymnasieskolornas matematiklärare – de har en utmanande uppgift och de flesta vill verkligen göra ett bra jobb och hjälpa eleverna att utvecklas.De flesta matematiklärare i gymnasieskolan deltog inte i matematik i sina universitetsstudier – mest med inriktning mot utbildning med inriktning mot matematik. De lär sig om hur olika elever tänker, hur man förklarar olika punkter på olika sätt, hur man hittar och diagnostiserar problem som studenter har med material och andra mycket värdefulla saker som inte är direkt relaterade till matematik. De tillbringar tid i hånfulla klassrum, såväl som i riktiga klassrum under den verkliga lärarens ledare för att få träning. De får mycket fördjupad granskning av matematiken de skulle förvänta sig undervisning, vilket innebär på gymnasienivå. De kommer att ta några matematikkurser på universitetsnivå i sitt program, men inte i närheten av så många eller så avancerade som vad en matematikstudie skulle ta. Matematikstudier gör inget av det men i sina mer avancerade kurser får de mer exponering för vad riktiga, levande, professionella matematiker gör, och de flesta matematiklärare får inte den exponeringen – de inser inte hur matematiker faktiskt definierar saker som naturliga tal och heltal, begränsad exponering för matematiker som använder radianer istället för grader för vinkelmått (och avsaknaden av enhetssymbol för vinklar innebär radianer, inte grader), utan att ha det blöt i vad professionella matematiker betraktar som lämplig arbetsordning (och, nej , det är inte PEMDAS, BODMAS, …), etc. Dina matematiklärare lär ut vad boken säger att de ska lära och de är inte medvetna om att de lär dig saker som strider mot vad professionella matematiker gör.
- Delningslagar för exponenter: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, vilket är odefinierat, så 0 ^ 0 måste vara odefinierat eftersom de är lika. Ett ogiltigt steg har gjorts vid andra =. En av delningslagarna för exponenter är b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, men den har vissa begränsningar för att kunna användas. En av dessa är att tillämpningen av lagen inte vid något tillfälle får generera ett uttryck som innebär en ömsesidighet av 0 eller en division med 0. Därför är det förbjudet att använda denna lag när b = 0, eftersom det genererar nonsens – och det är det nonsens du vill använda för att ”bevisa” din poäng. Tyvärr, men för att bevisa en punkt kan du inte använda något som är så mycket nonsens att det är ogiltigt. Ogiltiga steg utgör ett misslyckat bevis. Att skriva saker som a = b = c där c är odefinierad är ogiltig— a och b kanske eller kanske inte är giltigt. Ekvationer får inte användas när minst en av sidorna är odefinierad eller på annat sätt ogiltig. Det är förbjudet för dig att dra slutsatsen att 1/0 = 1/0, eftersom båda sidor är odefinierade, så du kan inte säga att de är lika – hur kan du veta att två saker är lika när du inte ens har någon aning om vad dessa två saker menar (och du kan inte ha någon aning eftersom de inte har någon definition).
- ”0 ^ 0 är en obestämd form, så den kan inte ha ett värde – min kalkylbok säger det.” Begreppet obestämda former är väldigt verkligt och användbart så länge du håller det i det avsedda sammanhanget. Obestämda formulär gäller endast i gränserna – att du inte kan titta på det formuläret och avgöra om det finns en gräns och, om den gör det, vad det begränsande värdet är. Att skriva 0 ^ 0 avser vad som är värdet av f (x, y) = x ^ y vid (x, y) = (0, 0) – inte vad är gränsen när x och y närmar sig 0 oberoende. En gräns kan finnas men funktionen är inte definierad där; en funktion kan definieras där men gränsen finns inte. De två begreppen har inget att göra med varandra, förutom när endera eller båda (definierande värde och begränsningsvärde) misslyckas, är funktionen inte kontinuerlig vid den punkten. Att säga att en gräns tar form 0 ^ 0 betyder att du inte ens kan berätta från den informationen om gränsen existerar och vad dess värde är. Det faktum har inget att göra med om 0 ^ 0 = 1 eller är odefinierad. Att säga 0 ^ 0 = 1 säger inte att en gräns som tar form 0 ^ 0 måste ha värde 1.
- 0 ^ y = 0 för alla positiva y och x ^ 0 = 1 för alla icke-noll x . (Många som använder detta argument glömmer att y inte får vara negativa och behandla de två fallen som symmetriska.) Om du ersätter 0 för båda x och y , i det ena fallet 0 ^ 0 = 0 och det andra fallet 0 ^ 0 = 1 – en motsägelse , så det kan inte definieras. Vi får se. Det finns två tal vars kvadrat är 9: +3 och −3; alltså är kvadratroten på 9 +3 men kvadratroten på 9 är −3. Åh, vi har en motsägelse, så det får inte finnas något sådant som kvadratroten av 9 – det måste vara odefinierat.Nej, +3 är ett mer användbart svar än −3, så vi definierar √9 = 3. Det faktum att x ^ 0 = 1 för inte bara alla icke-nollverkliga x men också för alla icke-noll-komplexa x och till och med alla icke-noll-kvaternioner x ; å andra sidan fungerar 0 ^ y på ett enkelt sätt bara för positiva verkliga x – inte negativa realer, inte imaginära, så det är inte mer meningsfullt att gå med definitionen som bara har ett hål istället för att på allvar överväga ett alternativ som har ett otalbart antal hål ? Resultatet av 1 är långt, långt, mycket mer användbart än 0 för 0 ^ 0. Om vi är villiga att kalla kvadratroten på 9 vara +3 när det finns mycket mindre anledning till preferens, hur mycket mer att kalla 0 ^ 0 = 1, när det finns mycket stark anledning till preferens. Tomproduktregeln föreskriver valet av 1 och inte 0. Många praktiska tillämpningar tycker att 1 är ett extremt användbart resultat, medan 0 eller odefinierat skulle vara problematiska resultat. Ingen meningsfull applikation har 0 som ett användbart resultat, så vi väljer 1.
Svar
\ text {Enligt binomialteorem}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Ersätter a = 1 och x med – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ innebär 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}