Bästa svaret
1. Rötter av siffror.
I grundskolan uppmanades vi att kvadratroten av ett nummer faktiskt är en fråga. Vilket tal multiplicerat med sig själv, så många gånger för att få ett tal, är roten. T.ex. kvadratrot av 9 = 3, eftersom 3 × 3 = 9 fjärde rot av 16 = 2, eftersom 2 × 2 × 2 × 2 = 16 och så vidare. Rötternas natur är dock mer grundläggande eftersom applikationen utvidgade nummersystemet från det rationella till det verkliga. Med andra ord, för att använda funktionen för att hitta rötter var det nödvändigt att expandera nummersystemet så att det stängdes under funktion av ”rooting” genom att införa de irrationella siffrorna. De rationella siffrorna är stängda för +, -, ×, ÷ men inte för√. Exempelvis √2 kan inte uttryckas som ett förhållande. Pythagoreerna visste detta och skulle ha försökt att kvällsmat, eftersom det inte kvadrerade, ha, ha, med deras världsbild.
2. Rötter av ekvationer
Naturen som vi fick höra var när kurvan skär x-axel. Detta kan inträffa en gång, två gånger, tre gånger beroende på polynom. Regler utformades för att beräkna dem som vi alla lärde oss. Sedan ställdes frågan. Vad händer om kurvan inte skär x-axeln? Då har vi uppenbarligen en imaginär rot och detta inträffade när b ^ 2-4ac . Detta krävde att en annan förlängning av nummersystemet var behövs. Så det komplexa nummersystemet uppfanns för att inkludera rötter av negativa tal. Så ”rötter” har varit att utvidga nummersystemet bortom de rationella siffrorna.
Svar
Jag föreställer mig att du menar ”naturlig” i betydelsen ”naturlig isomorfism.” Om något är ”naturligt” eller ”kanoniskt” betyder det ungefär att det inte är resultatet av något godtyckligt val. Det bestäms naturligtvis av dess sammanhang.
Ett av de motiverande exemplen på en ”naturlig” sak är isomorfismen mellan ett ändligt dimensionellt vektorutrymme V och dess dubbla dubbla V ^ {\ vee \ vee}. Isomorfismen tar v \ in V till E\_v \ i V ^ {\ vee \ vee}, där E\_v (\ phi) = \ phi (v) för \ phi \ i V ^ \ vee. Du skickar vektorn v till kartan E\_v som utvärderar dubbla vektorer vid v. Detta är naturligt; inga godtyckliga val gjordes, det föll bara direkt ut ur definitionerna och förhållandena mellan de inblandade objekten.
Det finns annan isomorfism mellan dessa två utrymmen, eller kurs, men den här är ”rätt val.” Alla andra val skulle vara onaturliga; till exempel kan du skicka v till E\_ {A (v)}, där A: V \ till V är en godtycklig linjär automorfism av V. Men … varför? Det finns ingen anledning att du alls behöver introducera A, eftersom du har det naturliga valet v \ mapsto E\_v precis framför dig. Förhoppningsvis är skillnaden mellan den ”naturliga” och ”onaturliga” isomorfismen tillräckligt tydlig.
Å andra sidan finns det ingen naturlig isomorfism L: V \ till V ^ \ vee. Att konstruera en isomorfism kräver godtyckliga val. Jag kunde välja en bas b\_1, \ dots, b\_n och förklara L (b\_i) som den dubbla vektorn som tar b\_i till 1 och alla andra basvektorer till 0. Detta definierar en perfekt fin isomorfism, men jag skulle kunna göra exakt samma med någon annan grund och få en annan, lika giltig isomorfism. Det finns inget sätt att välja en på ett naturligt, gudsgott sätt.
Detta är en väldigt grov, informell beskrivning. Det kan (och är) preciseras genom kategoriteori: funktioner och naturliga transformationer ger rätt sätt att tänka på vad som gör något ”naturligt” i något sammanhang. Jag har gjort mitt bästa för att förmedla min egen intuition för konceptet, vilket jag tror skulle räcka tills man är redo för (cate) blodiga detaljer.
* Matematikens teologi / ontologi trots