Bästa svaret
Endast när θ = 0.
Det är geometriskt uppenbart att för varje θ mellan 0 och π / 2, 2sinθ är längden på ackordet för en båge med radiellt mått 2θ i en cirkel med radie 1. Och eftersom ackordet är kortare än bågen, måste vi ha sinθ <θ för alla sådana θ. Och naturligtvis, om θ> 1, då sinθ . Slutligen innebär sinθ <θ för alla positiva θ sinθ> θ för alla negativa .
Även om θ mäts i grader, kan sinθ inte vara lika med θ om inte θ = 0, helt enkelt för att radiens mått på en båge av θ grader är πθ / 180, vilket är mycket mindre än θ.
Svar
Jag tror att den bättre frågan är, \ cos \ theta lika med 2?
Du vet förmodligen att det inte kan om \ theta är vinkeln på en triangel i plangeometrin, eftersom hypotenusen i en rätt triangel är längre än benens längder och det intilliggande benet kan inte vara dubbelt så långt som hypotenusen. På samma sätt om \ theta är något reellt tal, eftersom \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Således, om \ theta \ i \ mathbb R, då -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, kan därför \ cos \ theta inte vara 2.
Vi hävdar dock att om z \ in \ mathbb C, det är möjligt för \ cos z = 2. Den komplexa analytiska definitionen av cosinus är faktiskt \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, och därför slutar vi med en kvadratisk ekvation, som förhoppningsvis de flesta av oss är vana vid .
Vi vill lösa \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Om vi tar w = e ^ {iz} blir detta till \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, eller motsvarande, w ^ 2-4w + 1 = 0. Vi tillämpar sedan kvadratformeln:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Eftersom w = e ^ {iz} kan vi sedan ta den naturliga loggen, men måste vi vara försiktig : precis som a ^ 2 = b ^ 2 inte innebär a = b (det innebär bara a = \ pm b), e ^ a = e ^ b betyder inte a = b, det bara innebär a = b + 2 \ pi ik för vissa k \ i \ mathbb Z. Därför,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Sedan multiplicerar vi helt enkelt med -i för att få värdet av z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Vi kan äntligen skriva om vår lösning och notera att 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, och därmed \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Uppförandet av \ cos z som en komplex analytisk funktion imiterar den trigonometriska funktionen i den verkliga riktningen och den hyperboliska cosinus i den imaginära riktningen; faktiskt kanske du vet att \ cos (iz) = \ cosh z och \ sin (iz) = i \ sinh z; och att kombinera dessa fakta med kosinussummans formel innebär \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, med x, y \ i \ mathbb R. Detta ger ett alternativt sätt att räkna ut svar. Philip Lloyd har ett bra diagram om detta: Philip Lloyds svar på Varför kan inte cos theta vara lika med 2?