Bästa svaret
Det ges att
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ gånger x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nu är värdet på x ^ 2 blir – \ omega och – \ omega ^ 2
Där
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Och
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Låt oss ta x ^ 2 blir – \ omega
Nu är det givna uttrycket \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Kom ihåg att \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Så
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Så svaret är 0
============================================= ================== ===
Gillade du mitt svar? Vill du läsa mer skriva som de saker du gillade ovan? Följ mig och rösta upp det här svaret.
Svar
Detta problem är ganska enklare än det ser ut i början, och det är en lektion i hur användbart det kan vara att leta efter – och sedan utnyttja – symmetri. Problemet kräver ingen Calculus att lösa, men om du känner till någon Calculus, den metoden fungerar mycket bra. Nyckeln till en lösning som inte beräknas är att observera att om samma värde minimerar g (x) och h (x) så minimerar det också g (x) + h (x). Ser du varför detta är sant?
Hur kan vi tillämpa den idén på detta problem?
Tänk på g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Denna funktion är symmetrisk ungefär x = 3,5 – halvvägs mellan +3 och +4-värdena som läggs till x – eftersom vi kan skriva det som g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Att låta y = x + 3,5 innebär att denna symmetri innebär att g (y) måste vara ett jämnt polynom, därför innehåller det termer med endast jämna krafter på y. Eftersom det är ett jämnt polynom, säger binomialsatsen att alla dess koefficienter måste vara positiva. (I själva verket är det g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, men vi behöver inte ens hitta dessa tre termer uttryckligen för att avsluta argumentet.) Eftersom y = 0 minimerar varje av summorna av g (y) individuellt eftersom var och en är en jämn effekt av y med positiv koefficient, innebär vår initiala observation att y = 0 också måste minimera g. Så vi har upptäckt att x = -3,5 är den unika minimiseraren av g (x).
Tänk sedan på h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Denna funktion är något enklare än g eftersom den är kvadratisk, och ett nästan identiskt argument innebär att x = 3.5 också är den unika minimiseraren för h (x). Utnyttja symmetrin för att skriva den som h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Observera sedan att h (y) är ett jämnt polynom (har därför bara jämna krafter på y), och använd binomialsatsen för att dra slutsatsen att den bara har positiva koefficienter. Faktum är att h (y) = 2y ^ 2 + 24.5, men återigen, vi behöver inte hitta det uttryckligen. Eftersom y = 0 minimerar alla termer som läggs till för att producera h (y) vet vi att y = 0 minimerar h (y), och vi drar slutsatsen att x = -3,5 är den unika minimiseraren för h (x).
Slutligen, eftersom x = -3,5 är den unika minimisatorn för både g (x) och h (x), är det den unika minimisatorn för deras summa, och problemet är löst.