Bästa svaret
Vi kan representera vilket som helst positivt heltal n i bas tio notationen som n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, där a\_i \ i \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} och a\_k \ neq 0. Sedan n \ geq 10 ^ k. Summan av siffrorna är a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Denna ojämlikhet följer av a\_i \ leq 9. Det är nu lätt att se att om k \ geq 2 då 18 (k + 1) 0 ^ k. Nu sitter vi kvar med elementen n = 10a\_1 + a\_0. Dessa kan enkelt kontrolleras med en dator. Så här gjorde jag det med Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Således är det enda positiva heltalet som är två gånger summan av dess siffror 18. Om vi tillåter icke-negativa heltal har vi också 0. Jag är inte helt säker på hur denna fråga ska tolkas för negativa heltal.
Svar
Siffran N är produkten av de första 100 positiva heltalen. Om alla siffror i N skrevs ut, vilken siffra skulle vara bredvid alla nollor i slutet?
I grund och botten söker vi 100! och sedan vill vi slänga alla nollor i slutändan så vill vi veta vad den första siffran som inte är noll till höger.
Ett sätt är att faktiskt beräkna 100! använder ett program som bc (bänkkalkylator på Linux eller Unix) och kasserar sedan alla nollor för att komma fram till önskad siffra.
Låt oss titta på ett annat sätt att lösa problemet med delnings- och erövringsprincipen.
Låt oss kasta alla siffror som slutar med 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 för när du multiplicerar kommer den sista siffran i föregående multipel (produkten kom fram till den punkten) inte att förändras och vi är inte intresserade av beräknar 100! sans nollor ändå.
Låt oss titta på 1: a 9 siffror som börjar 2 och de är:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Från vänster till höger ger 2 * 3 dig 6, 6 * 4 ger dig 24, behåll bara 4 och multiplicera den med 5 för att ge dig 20 (eftersom vi vill kasta noll), behåll nu 2 och multiplicera den med 6 för att ge dig 12, behåll återigen bara 2 och multiplicera det med 7 för att ge dig 4 (av 14) och multiplicera det med 8 för att ge dig 2 (kasta 3 av 32) och multiplicera det med 9 för att ge dig 8 ( att kasta 1 av 18) och multiplicera det med 10 ger dig 8 (kasserar 0 eller 80). Således får du en enda siffra, som är 8 .
Fungerar på 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ger dig 8 igen.
Nästa serie 22, 23…, 28, 29, 30 ger dig 2.
Nästa serie ger dig 4
Om du fortsätter på samma sätt på de återstående serierna får du 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 respektive 2 .
Nu är den sista jobbet är att multiplicera siffrorna enligt ovan som vi har kommit fram till för varje serie.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 och när du multiplicerar dessa siffror och kassera den tionde siffran längs vägen kommer vi till 4 som sista siffra.
Detta är Det sista svaret på frågan, 4 är den erforderliga siffran.