Bästa svaret
Multiplicera med 1-cosX i både täljaren och nämnare.
{(1-cosx) × (1-cosx)} / {(1 + cosx) × (1-cosx)}
Nu, du kan se i täljaren det är (1-cosx) ^ 2
Så, spenderar det som
( ab) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2–2 × a × b
Och komprimera det i nämnaren som
(ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2
Nu, (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / (1-cos ^ 2x)
Det finns en annan formel som vi använder i nämnaren för att komprimera den.
Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1
1 -cos ^ 2x = sin ^ 2x
Nu, (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / sin ^ 2x
Dela var och en med sin ^ 2x för att få resultatet.
Ie, 1 / sin ^ 2x + cos ^ 2x / sin ^ 2x-2 × cosx / sin ^ 2x
Ie, Cosec ^ 2x + barnsäng ^ 2x-2 × cotx × cose cx
Detta är lösningen på den givna frågan.
Lösningsformel för sista raden:
Sinx × cosecx = 1
Eller cosecx = 1 / sinx
Om kvadrering båda sidor,
Cosec ^ 2x = 1 / sin ^ 2x
Cosx / sinx = cotx
Vid kvadrering av båda sidor,
Cos ^ 2x / sin ^ 2x = barnsäng ^ 2x
2 × cosx / sinx × 1 / sinx
Dvs 2 × cotx × cosecx
Tack.
Svar
Metod 1:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ right ) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos ^ 2 \ frac x2- \ sin ^ 2 \ frac x2} {\ cos ^ 2 \ frac x2 + \ sin ^ 2 \ frac x2-2 \ sin \ frac x2 \ cos \ frac x2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ vänster (\ frac {\ vänster (\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2 \ höger) \ vänster (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ höger)} {\ vänster (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ höger) ^ 2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2} {\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {-1} \ vänster (\ fr ac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ tan \ frac {\ pi } {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ vänster (tan \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ höger) \ höger)
= \ frac {\ pi} {4} + \ frac x2
Metod 2:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ höger) = \ tan ^ {- 1} \ vänster (\ frac {\ frac {1- \ tan ^ 2 \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} {1- \ frac {2 \ tan \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1- \ tan ^ 2 \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2-2 \ tan \ frac x2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ vänster (\ frac {\ vänster (1 + \ tan \ frac x2 \ höger) \ vänster (1- \ tan \ frac x2 \ höger)} {\ vänster (1- \ tan \ frac x2 \ höger) ^ 2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ vänster (\ frac {\ tan \ frac {\ pi} {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ höger)
= \ tan ^ {- 1} \ left (tan \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ right) \ right)
= \ frac {\ pi } {4} + \ frac x2