Bästa svaret
Det är svårt att välja en, så jag låter dig välja 🙂
- Eulers identitet
Ekvationen kombinerar fem av de viktigaste siffrorna i matematik Dessa är:
- 1 – grunden för alla andra siffror
- 0 – begreppet intet
- pi – numret som definierar en cirkel
- e – numret som ligger bakom exponentiell tillväxt
- i – den ”imaginära” kvadratroten till -1
2. Einsteins fältekvation ( sammanfattning av de tio ekvationerna)
Fysikern John Wheeler sammanfattade det kortfattat: ”Rymdtiden berättar hur man ska röra sig ; materia berättar för rymdtid hur man böjer sig. ”
Einsteins ekvation kan berätta för oss hur vårt universum har förändrats över tiden och erbjuder glimtar av det tidigaste ögonblicket skapelse. Det är ingen överraskning att det är många forskares favorit.
3. Vågekvation
Vågekvationen beskriver hur vågor sprider sig. Det gäller alla typer av vågor, från vattenvågor till ljud och vibrationer, och till och med ljus- och radiovågor.
Det är ett affischbarn för tanken att matematiska principer utvecklades inom ett område eller för sitt eget kan ha viktiga tillämpningar inom andra områden. Dess skönhet kommer från kombinationen av dessa attribut: elegans, överraskning, intellektuellt djup, nytta.
4. Den logistiska kartan
Den logistiska kartan är ett av de klassiska exemplen på kaosteori.
Den kan sammanfattas enligt följande: stor komplexitet kan uppstå från mycket enkla regler.
Ekvationen kan användas för att modellera många naturliga processer, till exempel hur en population av djur växer och krymper över tiden.
Hur befolkningen beter sig visar sig vara enormt känslig för värdet av r, på kontraintuitiva sätt. Om r är mellan 0 och 1 kommer befolkningen alltid att dö, men om den är mellan 1 och 3 kommer befolkningen att närma sig ett fast värde – och om det är över 3,56995 blir befolkningen väldigt oförutsägbar.
Dessa beteenden beskrivs som ”kaotiska” av matematiker och de är inte vad vi instinktivt förväntar oss. Men de kommer alla ut ur en ekvation som är matematiskt ganska enkel.
Det är det för tillfället.
Om du tror att jag saknade någon ekvation, snälla berätta för mig, jag ” Jag lägger till det i svaret 🙂
Svar
Jag ser många grundläggande beräkningsproblem som involverar PEMDAS just nu publiceras här, men det är grundläggande matematik som jag är säker på 99\% av människorna som tycker att de är riktigt bra på matte kan få rätt. Jag märkte också Bob Hocks ekvation, som är väldigt kreativ, men jag tror inte att det är så svårt att bevisa.
Problemet jag publicerar här är 2006 AIME II Problem 15, som ser väldigt komplicerat ut, men bryts ner till något ganska enkelt genom en kreativ relation:
Med tanke på att x, y och z är reella tal som uppfyller
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
och att x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, där m och n är positiva heltal och n är inte delbar med kvadraten på någon primär, hitta m + n
Vid första anblicken löser vi ett algebraproblem där vi behöver hitta summan. En första tanke kan vara att kvadrera ekvationerna för att bli av med kvadratrötterna i viss utsträckning, men en sådan metod är helt klart rörig.
Att märka att vi inte behöver lösa för var och en av x, y , z separat och bara behöver deras summa, kan vi överväga att lägga till de tre givna ekvationerna, vilket ger
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Vi har vad vi har behov på ena sidan, men den andra sidan ser inte ut som att något kommer att avbrytas, så det verkar inte stämma.
En tredje idé skulle vara att faktorisera uttrycket inuti kvadratrötterna med hjälp av skillnad i kvadrater eftersom de givna fraktionerna alla är perfekta rutor. Att göra det ger
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
etc, men ändå finns det inget tydligt sätt att manipulera faktorerna på något användbart sätt. Kort sagt kan vi försöka lösa en variabel i taget, men det finns inget tydligt sätt att göra det.
Det visar sig att den bästa lösningen på detta problem är att tänka geometriskt. Minns Pythagoreas teorem säger att i en rätt triangel med ben a, b och hypotenus c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan manipulera detta för att få a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Detta är exakt formen av termerna på ekvationernas RHS.
Om vi ritar en triangel i enlighet med denna insikt kan vi från den första ekvationen bilda två högra trianglar med höjden \ frac {1} {4}, och med hypotenusen y och z. x är lika med summan av den tredje längden av varje rätt triangel. Om vi låter höjden på de högra trianglarna vara samma linjesegment av längden \ frac {1} {4} bildar vi en större triangel med sidlängderna x, y, z och höjden på \ frac {1} {4} på x-sidan.
Fortsatt med samma idé för den andra och tredje ekvationen får vi att triangelns höjd på y- och z-sidorna är \ frac {1} {5} och \ frac {1} {6}. Från areaekvationen för en triangel kan vi få
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {och} y = \ frac {5} {6} z
Dessutom från Herons formel , vi får
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Att ersätta i z från de andra områdesformlerna, detta förenklar till
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Således
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
så m + n = 2 + 7 = \ boxad {9}