Vad är ekvationen för en cirkulär kon?


Bästa svaret

Jag antar att det är en rätt cirkulär kon med basradie R och höjd H, centrerad vid ursprunget O och dess axel är längs Z-axeln passerar X- och Y-axlarna genom basen.

I det här scenariot kan vi uttrycka det som en serie cirklar eller skivor placerade ovanpå varandra och minskar enhetligt i radien från botten till toppen.

Så cirkelns radie vid en viss höjd h från toppen blir r = htan (θ) där θ är den semi vertikala vinkeln.

Ekvationen för en sådan cirkel kommer att vara x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2tan ^ 2 (θ).

Varje punkt på denna cirkel kan uttryckas, i det 3-koordinata kartesiska utrymmet som (htan (θ) cos (Φ), htan (θ) sin (Φ), Hh).

Där h varierar från 0 högst upp till H längst ner, och Φ är den parametriska vinkeln för den allmänna punkten på cirkeln.

Detta beskriver en serie koncentriska cirklar med jämnt minskande radie, vilket gör den till en ihålig kon med en öppen bas.

Ersätter = symbol i cirkelekvationen med gör den till en uppsättning av alla punkter som ligger på eller inuti cirkeln, vilket gör den till en solid kon.

Svar

Jag härledde detta själv. Se om du kan hitta bättre lösningar någon annanstans.

Detta är för en konisk form som sträcker sig längs och genom hela z-axeln.

x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \ cdot z ^ 2

Detta är enkelt att förstå, eftersom radien bör öka linjärt när z-komponenten ändras för en konisk form.

I detta fall r = a \ cdot zr \ propto z

a definierar lutningen på konens lutande yta. Om toppvinkeln är 2 \ mathrm {\ theta}, då a = \ mathrm {tan} (\ mathrm {\ theta})

Uppdatering 1: Om du vill ha konen med radie r, axellängd h att ha en specifik apex \ mathrm {(x\_0, y\_0, z\_0)} och dess axel är parallell med z-axeln.

Då blir ekvationen (x-x\_0) ^ 2 + (y -y\_0) ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (z-z\_0) ^ 2 med begränsningen 0 \ le z\_0-z \ le h Observera att detta ger konen vars spets pekar uppåt; för den andra konen, ändra bara begränsningen till 0 \ le z-z\_0 \ le h.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *