Bästa svaret
Deloperatören är ett sätt att hitta derivat av en vektor. Du kanske är bekant med att hitta derivat för skalära funktioner, som kan representeras av något av formuläret
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f ”(x)
där f (x) är en funktion av x, f ”(x) är dess derivat, och \ frac {d} {dx} är termen som säger att vi ska ta derivatet i första hand. Du kan tänka på \ frac {d} {dx} som derivatoperatören, för det säger att du ska ta ett derivat av det som det är bredvid.
Nu vill vi också göra detta för vektorer, oftast de som representeras i kartesiska koordinater (funktioner för x, y och z). Varför? Eftersom många fysiska fenomen (som elektriska eller gravitationsfält) kan beskrivas som vektorer, och förändringarna av dessa fenomen (och därmed derivaten) är viktiga.
Så hur tar vi derivat av en vektor ? Vi använder Del-operatören. Eftersom vi vill använda den med vektorer måste den vara en vektor i sig. Och eftersom vi vill använda den för alla tre kartesiska koordinater och inte bara för x, kommer den att ha fler bokstäver. I slutändan ser Del-operatören väldigt ut som vår ovanstående derivatoperator, men med några fler termer:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla är vad vi kallar Del Operator, även om symbolen officiellt är en ”nabla”; Jag lärde mig ärligt talat att det kallades ett upp och ned delta! Förutom bara ett derivat med avseende på x tar vi nu också partiella derivat med avseende på y och z. När vi tar ett partiellt derivat behandlar vi bara alla variabler utom en som konstanter och tar derivatet med avseende på vår valda variabel.
Nu eftersom det finns två sätt att multiplicera vektorer får vi naturligtvis två sätt att ta ett vektordivat. De två sätten att multiplicera vektorer använder punktprodukt och tvärprodukt ; resultatet av varje multiplikation är ett skalvärde respektive ett vektorvärde.
Ett exempel som använder punktprodukten är att beräkna divergensen för det elektriska fältet:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Här tar vi ett derivat med hjälp av punktprodukten och har kvar det skalära värdet {\ rho} \_v, vilket är volymladdningstätheten i ett område.
Ett exempel på att använda korsprodukten är att beräkna kretsen för det elektriska fältet:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Här tar vi ett derivat med hjälp av korsprodukten och är kvar med vektorvärdet \ mathbf {B} (närmare bestämt dess tidsderivat).
Deloperatorn är dock också användbar utanför vektorer. Om vi behandlar Del Operator som bara en summa av tre olika saker, kan vi multiplicera den med någon skalarfunktion och den funktionen distribueras över hela saken:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
I det här fallet har vi gjort en skalär till en vektor! Detta kallas för att ta ”gradienten” för skalarfunktionen. Vad den gör är att den berättar i vilken riktning funktionen förändras snabbast. Detta används ofta för potentiella fält som har formen:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
där \ mathbf {U} är en potentiell energi (som en fjäder eller gravitation) och F är den kraft som är resultatet av att placeras i det fältet. Det är fortfarande ett vektordivat, vilket är vad vi beskrev Del Operator som tidigare, det är bara att det är vektordivatet i en skalär istället för vektorderivatet i en vektor. Ja, de finns också!
Och det fortsätter. Du kanske har sett termen {\ nabla} ^ 2; detta är känt som Laplacian och ses i saker som vågekvationen. Det är i princip bara att använda Del Operator två gånger i rad. Det kan utökas till andra koordinatsystem med fler variabler eller reduceras till två eller en dimension. Det är ett mycket viktigt begrepp och används i nästan alla fysikgrenar!
Svar
Deloperatören (även kallad ibland en nabla) definieras enligt följande i kartesiska koordinater :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
När det gäller den fysiska betydelsen?
Deloperatören fungerar som vektor-kalkylekvivalenten för ett rumsligt derivat. Det finns tre typer av derivat associerade med deloperatören. Låt oss anta att A är en vektor och \ phi är en skalär.
Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
Divergens: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Var och en av dessa typer av derivat har intressanta egenskaper som du kan Google själv.
Hoppas det hjälper!
Obs: Alla dessa ekvationer är olika i andra koordinatsystem (t.ex. sfärisk, cylindrisk) . Var försiktig!