Bästa svaret
En kontravariant tensor av rang 2 är symmetrisk om den är oföränderlig under permutation av dess index. Dess komponenter ändras inte vid indexutbyte och uppfyller följande:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
På samma sätt är en kovariant tensor av rang 2 symmetrisk om den är oförändrad under permutation av dess index och dess komponenter uppfyller följande:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensorer av rang 2 kan vanligtvis representeras av matriser , så symmetrin för en tensor är väsentligen relaterad till symmetrin för matrisen som representerar den. Det är känt att om posterna i en symmetrisk (kvadratisk) matris uttrycks som A = (a\_ {pq}), då a\_ {pq} = a\_ {qp} för alla index p och q. Den symmetriska matrisen är lika med dess transponering ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Exempel på symmetriska tensorer av andra klass inkluderar metriska tensor g \_ {\ mu \ nu} , eller Cauchy-stresstensorn ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) som kan skrivas i matrisform som:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ slutet {matris}} \ höger]}
Om vi till exempel har en högre rangtensor av formen
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
tensorn sägs vara symmetrisk i m och p.
En tensor som är symmetrisk med avseende på två kontravariant två kovarianta index sägs vara symmetriska.
En tensor kallas skev-symmetrisk eller antisymmetrisk om
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
I allmänhet är en symmetrisk tensor är en tensor som är oförändrad under en permutation av dess vektorargument:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
för varje permutation σ av symbolerna {1, 2, …, r }. Alternativt kan en symmetrisk ordning eller rangordning r representeras i koordinater som en kvantitet med r index uppfyller
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Svar
Matriser är rektangulära matriser av element från något fält (vanligtvis \ mathbb {R} eller \ mathbb {C}, men inte alltid) som har funktion av multiplikation med en annan matris och multiplicering med ett definierat fältelement.
Matriser används för att representera ett stort antal olika saker:
- koefficienter för linjära ekvationer
- linjära transformationer (givet en viss ordnad uppsättning basvektorer)
- förändring av basen för vektorrymden (ges två ordnade uppsättningar basvektorer)
- tensorer (specifikt ordning 2 tensorer)
- vissa grupper
- etc.
Några av dessa användningar kan bli förvirrade: ges en icke-singulär kvadratisk matris utan sammanhang, det är omöjligt att säga att titta på den om den representerar en linjär transformation (eller på vilken grund den är), en grundförändring eller en tensor.
Kort sagt, matriser är mycket generella.
Tensorer är flerlinjiga funktionaliteter på vektorer och funktionaliteter (dubbla vektorer). Med andra ord är en ordning n + m tensor en funktion på n-vektorer och m dubbla vektorer som returnerar ett reellt eller komplext tal och är linjär på alla dess argument.
Tensorer på ändliga dimensionella vektorrymden kan representeras av en n + m-dimensionell grupp av element från fältet i vektorutrymmet, och för ordning 2 tensorer representeras detta ofta som en matris. Liksom matrisrepresentationen av linjära transformationer är den flerdimensionella matrisrepresentationen av en tensor beroende av vilken bas som används.
Tensorer beskrivs ofta, används och ibland till och med definierad i termer av flerdimensionella matriser av fältelement, med förbehåll för begränsningen av hur tensorn transformeras med avseende på differentiella förändringar i grundvektorerna. Men i sitt hjärta är de multilinjära funktionaliteter på vektorer och linjära funktionaliteter.