Bästa svaret
För att vara exakt kan du inte ta en enda vektors krullning. Du behöver ett vektorfält för att ta krullen, ungefär så här:
Krullningen är en differentiell operator som tar ett tredimensionellt vektorfält och spottar ut ett annat tredimensionellt vektorfält.
För att få en känsla för vad curl betyder, föreställ dig att vi har ett vektorfält som representerar hastigheten för en vätska. Det vill säga vätskan fyller lite utrymme och ”hastighetsfält” berättar för oss hur vätskans hastighet är vid varje punkt i det utrymmet. Om vi tar hastigheten för hastighetsfältet, får vi ett nytt vektorfält som berättar för oss, ungefär hur vätskan roterar vid varje punkt i rymden. Specifikt berättar krullningsvektorns storlek rotationens styrka och riktningen anger rotationsriktningen enligt Högerhandregel .
I cartesi en koordinater, kan curl beräknas som delproduktens korsprodukt och originalfältet: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ delvis F\_z} {\ partiell x}) \ hatt {y} + (\ frac {\ partiell F\_y} {\ partiell x} – \ frac {\ partiell F\_x} {\ partiell y}) \ hatt {z}
En av de största anledningarna till att krullen är viktig är Helmholtz sönderdelning . I grund och botten är allt du behöver för att fullständigt karakterisera ett vektorfält dess avvikelse och krullning. Detta används med stor effekt, till exempel i Maxwell-ekvationerna, som genom att specificera krökningen och divergensen hos de elektriska och magnetiska fälten, låter dig lösa för fälten:
Svar
Olika människor kan hitta olika analogier / visualiseringar till hjälp, men här är en möjlig uppsättning” fysiska betydelser ”.
Divergens: Föreställ dig en vätska, med vektorfältet som representerar vätskans hastighet vid varje punkt i rymden. Divergens mäter vätskeflödet ur (dvs. avviker från) en viss punkt. Om vätska istället flyter in i den punkten kommer divergensen att vara negativ.
En punkt eller region med positiv divergens kallas ofta för en” källa ”(av vätska eller vad som helst fältet beskriver), medan en punkt eller region med negativ avvikelse är en ”sjunka”.
Curl: Låt oss gå tillbaka till vår fluid, med vektorfältet som representerar fluidhastighet. Curl mäter i vilken grad vätskan roterar omkring en viss punkt, med bubbelpooler och tornader som extrema exempel.
Föreställ dig en liten bit vätska, tillräckligt liten för att krullen är mer eller mindre konstant i den. Du är också krympt mycket liten och får veta att du måste simma ett varv runt omkretsen av den vätskan. Väljer du att simma medurs eller moturs? Om hastighetens krullning är noll, spelar det ingen roll. Men om den inte är noll, skulle du i en riktning mest gå med strömmen, och i den andra riktningen skulle du mest gå mot strömmen, och så ditt val av riktning skulle betyda. Curlens tecken kommer att berätta vilket som är rätt val.
Gradient: Även om det är helt giltigt att ta lutningen på ett vektorfält, resultatet är en rang 2 tensor (som en matris), så det är svårare att förklara i intuitiva termer (även om kanske någon annan klarar det). Så istället talar jag om lutningen för ett skalarfält : specifikt det fält som ger markhöjningen över havet vid en given punkt på jorden (specificerad, säg i termer av latitud och longitud).
I den situationen är lutningen faktiskt ganska enkel: den pekar ”uppåt” (i den brantaste riktningen) och storleken berättar hur brant det är. Till exempel, om lutningen pekar nordost med en styrka av 0,2, är riktningen för den brantaste stigningen nordost, och varje meter du reser nordost kommer att resultera i 0,2 meters höjdförstärkning.
För gradienten för ett vektorfält kan du tänka på det som gradienten för varje -komponent i det vektorfältet individuellt, var och en är en skalär.