Bästa svaret
De flesta sekvenser som du stöter på ges av en formel för n- term: a\_n = f (n) där f är en funktion byggd av aritmetiska operationer, befogenheter, rötter, exponentiering, loggar och ibland andra funktioner. Frågan är vad som händer när n närmar sig oändligheten. Är \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) ett slutligt tal, det vill säga konvergerar sekvensen eller händer något annat? Avviker den till \ infty eller to – \ infty, pendlar den mellan två olika siffror eller bryts allt kaos loss?
Om du inte är intresserad av säkerhet, men nöjd med ett svar som ” Om det kommer att vara rätt i de flesta situationer kan du bara beräkna a\_ {1000} eller någon annanstans långt ut i sekvensen. För de flesta sekvenser som du stöter på borde det svara på din fråga.
Men det är inte din fråga. Du vill verkligen veta om sekvensen konvergerar eller inte. Du vill ha säkerhet och om möjligt vill du att veta till vilket antal det konvergerar till. Tyvärr kan formulärsekvenserna ha gränslösa. Det bästa du kan göra är att ha flera principer som tar hand om de flesta fall. Här är några principer.
- Rationella funktioner , dvs kvoter av polynom, såsom a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Du kan se vad som kommer att hända om du delar täljaren och nämnaren med den högsta effekten av n som finns. Du kan sammanfatta allt i en sats: Om täljarens grad är densamma som nämnarens grad, så konvergerar sekvensen till förhållandet mellan de ledande koefficienterna (4/3 i exemplet); om nämnaren har en högre grad konvergerar sekvensen till 0; om täljaren har en hög r-grad, då divigerar sekvensen till \ infty om de ledande koefficienterna har samma tecken, eller till – \ infty om de har olika tecken.
- Kvoter av algebraiska funktioner som involverar rötter som a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Dela täljaren och nämnaren med en bråkdel n. I detta exempel kommer \ sqrt n att göra.
- Kompositioner , till exempel a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Den yttre funktionen, sinus, är en kontinuerlig funktion och kontinuerliga funktioner bevarar gränser. I det här fallet har vi \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, så den ursprungliga sekvensen närmar sig \ sin0 = 0. Men överväg a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} istället. Här har vi \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ till \ infty och \ sin x svänger mellan –1 och 1 som x \ till \ infty, så denna sekvens har ingen gräns.
- Relativa tillväxtbeställningar . Ofta har du a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} där både f (n) \ to \ infty och g (n) \ to \ infty. Vad som händer med kvoten beror på om täljaren eller nämnaren växer snabbare. Jag använder symbolen \ prec för att indikera att man växer mycket långsammare än en annan, det vill säga f \ prec g betyder \ lim\_ {n \ till \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Det är användbart att känna till några av dessa, och det gör du. Till exempel n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Det här är alla exempel på polynomier, men du bör känna till några andra funktioner \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L ”Hôpital” s regel . Även om sekvenser är diskreta, om den kontinuerliga gränsen konvergerar, eller om den avviker till plus eller minus oändlighet, så har den diskreta gränsen. Så om du till exempel ”har a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} och du inte använde orderna som nämnts ovan, kan du använda L” Hôpital ” s regel. Eftersom i limiten \ lim\_ {x \ till \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, närmar sig täljaren och nämnaren oändligheten, den gränsen kommer att vara densamma som begränsa där du ersätter täljaren och nämnaren med deras derivat, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, och om det fortfarande inte är klart vad som händer, eftersom detta också är av formuläret \ infty / \ infty kan du använda L ”Hôpital” s regel ag ain.
- Den speciella gränsen för e ^ x. Ibland används detta som definition av den exponentiella funktionen. Det är värt att veta och det kommer ofta upp i användbara sekvenser. (1 + x / n) ^ n \ till e ^ x
Jag är säker på att det finns fler tekniker. Glöm inte att förenkla att använda algebra när du går.
Svar
Få tester för att testa konvergensen av sekvenser.
1. Givet en sekvens a\_n och om vi har en funktion f (x) så att f (n) = a\_n och \ lim\_ {n \ till \ infty} f (x) = L då \ lim\_ {n \ till \ infty} a\_n = L
2. Om \ lim\_ {n \ till \ infty} | a\_n | = 0 då \ lim\_ {n \ till \ infty} a\_n = 0
3. Sekvensen {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konvergerar om -1 \ ler \ le1.
4. För en sekvens \ {a\_n \} om \ lim\_ {n \ till \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, då är a\_n konvergent med gräns L.