Bästa svaret
härledningen av denna summa liknar den för
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Låt
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Eftersom addition är kommutativ kan vi skriva S i omvänd ordning så
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Lägga till dessa två representationer term för term ger oss
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ punkter (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Härifrån följer det självklart att
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Detta är ett känt resultat som kan bevisas genom induktion, vilket jag ska fortsätta och göra just nu. För att göra detta måste vi visa att
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Obs: Jag använder H\_ {0} som en förkortning av hypotesen)
För att visa att H\_ { 0} hålls via induktion, måste vi visa att jämställdheten gäller för basfallet, n = 1 och induktionsfallet, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Basfallet är uppenbart eftersom 1 = 1 ^ {2} = 1, vilket lämnar oss med induktionsfallet.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vi ser att jämställdheten gäller för k + 1, därmed bevisar att H\_ {0} verkligen är sant. Således kan vi definitivt hävda att vår härledning av (6) verkligen är korrekt.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Svar
Låt oss se och se. Vem som helst kan åtminstone observera de första instanserna, eller hur?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Känner du igen siffrorna till höger?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ja! De är de perfekta rutorna. 1 \ gånger 1, 2 \ gånger 2, 3 \ gånger 3, 4 \ gånger 4 och så vidare.
Vi har nu en gissning. Låt oss testa det:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ja! De sex minsta udda siffrorna lägger till 6 ^ 2, precis som vi hade förutsagt. Du kan prova några fler: det fungerar.
Om vi är fysiker stannar vi här. Vi har gjort en observation, vi bildade en hypotes, vi testade vår hypotes experimentellt en och två gånger och hundra gånger, det fungerar alltid, gjort. Vår teori är korrekt tills ett experiment motbevisar det.
Men vi är matematiker, är vi inte. Vi behöver bevis. Och det finns noggranna bevis på detta fina lilla faktum.
Men det finns också ett kristallklart visuellt bevis. Här är det:
EDIT: många människor har bett om ett strikt bevis. Här är en relativt enkel som kan härledas från detta visuella bevis.
Vi märker att udda siffror är bara skillnaderna mellan på varandra följande rutor, så som:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
och så vidare. När vi lägger till dem avbryts därför allt utom den sista rutan:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Så nu ska vi skriva detta formellt för valfritt antal udda nummer som läggs till. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
och därför summan av de första n udda siffrorna, som är
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
är lika med
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED