Bästa svaret
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
För x + 2 = 0 har vi x = -2
För x ^ 2-2x + 4 = 0, vi måste lösa det med den kvadratiska formeln:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Vi får lösningen x = 1 + i \ sqrt {3} och x = 1 – i \ sqrt {3}
Om vi talar om verkliga tal, -8 har en kubrot: -2
Om vi talar om komplexa tal har -8 tre kubrötter: -2, 1 + i \ sqrt {3} och 1 – i \ sqrt { 3}
Svar
Du anger inte om du vill ha svaret i ett verkligt sammanhang eller ett komplext sammanhang. Det finns en riktig rot och ett par komplexa konjugerade rötter. Du anger ”kubrot” i singularform. Därför verkar det naturligt att betrakta fallet med ett verkligt sammanhang med sin enda verkliga rot och separat fallet med huvudroten i ett komplext sammanhang.
I ett verkligt sammanhang är kubroten av −8 −2.
I ett komplext sammanhang är den huvudsakliga kubroten på −8 1 + i \ sqrt {3}. Detta kan tyckas konstigt att roten som valts i ett verkligt sammanhang inte också är markerad i ett komplext sammanhang, även om den verkliga roten är tillgänglig. Huvudroten i ett komplext sammanhang är emellertid den som är närmast att vara på den positiva verkliga axeln, och om två knyter samman för att vara närmast, ta den med positiv imaginär del. Kubroten är inte en kontinuerlig funktion i det komplexa planet – det finns en gren som skärs längs den negativa riktiga axeln.