Bästa svaret
Vi kan närma oss detta geometriskt. Det finns tre lösningar, de är: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° och 1 / \_240 ° i polär form. Vi måste ta hänsyn till komplexa tal. (just nu kan jag inte tillhandahålla diagram, så jag ber om ursäkt). Att använda en penna och ett papper när du läser det här svaret skulle vara mycket användbart.
Obs: “/ \_” representerar “vinkel”. Vinkeln mäts moturs i förhållande till den positiva riktiga axeln (positiv x-axeln). Dessutom är 0 ° samma som 360 °, 720 ° och så vidare. Vilken vinkel som helst är samma som θ + 360 °.
Geometriskt, om vi representerar 1 i ett komplext plan som 1 + 0i (1,0); detta är lika med 1 / \_ 0 ° eller 1 / \_360 ° i polär form. Vi kan rita en enhetscirkel med mittpunkten vid ursprung 0,0. Genom att dela enhetscirkeln på 360 ° (eller 2π radianer) i tre lika stora delar får vi de tre nödvändiga rötterna.
Den första roten vid 1 / \_0 ° eller / \_360 °. [Om jag gör tre kompletta varv (360 °) från (1,0) moturs (multipliceras med sig själv tre gånger eller kubik), kommer jag till samma punkt: 1 / \_0 °. Observera också: Om jag gör 3 ”inga varv” (0 °). Jag kommer också till samma punkt!]
För de andra två rötterna:
- Från 1 / \_0 °, om jag gör 1/3 (en tredjedel eller 120 °) varv moturs (en multiplicerad med 1 / \_120 °) kommer jag till 1 / \_120 ° som är den andra roten. Om jag gör ytterligare två 1/3 varv därifrån kommer jag till 1 / \_360 ° dvs 1 / \_ 0 ° igen. (så jag gjorde tre varv 1/3 eller 120 °, eller så utförde jag kubering). Därför är kuben 1 / \_120 ° också 1.
- Från och med 1 / \_0 °, om jag gör 2/3 (240 °) varv, når jag 1 / \_240 ° vilket är tredje roten, om jag gör ytterligare en tredjedel av varvtalet når jag 1 / \_480 ° dvs vid 1 / \_120 ° och med ännu en 2/3 varv, når jag 1 / \_720 ° dvs tillbaka till 1 / \_0 °. så jag gjorde tre 2/3 eller 240 ° varv, eller så utförde jag kubering). Därför är kuben 1 / \_240 ° också 1.
Rötterna är 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. separerade med 120 ° lika på enhetscirkeln.
Du kan konvertera värdena till rektangulär form och se att svaren är desamma som de som ges av andra.
Generellt för att få nth rot delar vi enhetscirkeln i n lika delar, eller lika fördelade vinklar på 360 / n °, och rötterna ligger på cirkelns yttre gräns. Eftersom 360/5 = 72 ° är enhetens femte rötter: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Svar
Låt z sådan z ^ 3 = 1
nyckelsteget, ta inte kubroten på båda sidor, annars kommer du att sakna två rötter. Skriv om ekvationen snarare som:
z ^ 3–1 = 0
faktor vänster sida
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 har två komplexa rötter:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)