Bästa svaret
Huvudkubroten till -216 är inte -6
Huvudkubroten till -216 är 3 + 3i (sqrt (3)) där i ^ 2 = -1
För att hitta kubrötterna till -216 låt x ^ 3 = -216
Sedan x ^ 3 + 216 = 0 som kan faktureras med faktorisering av kuber sedan 216 = 6 ^ 3
(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 )
(a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)
(x ^ 3 + 6 ^ 3) = (x + 6) (x ^ 2–6x + 36) = 0
För att lösa ställer du in båda delarna lika med noll eftersom om en är noll är noll gånger någonting noll
(x + 6) = 0, x = 6
(x ^ 2-6x + 36) = 0 som kan lösas genom att fylla i rutan
(x ^ 2-6x + c) = – 36 + c där c är konstanten. c = (b / 2) ^ 2 och b är 6 så c = 3 ^ 2 = 9
(x ^ 2–6x + 9) = – 27, (x ^ 2–6x + 9) faktorer till (x-3) (x-3) = (x-3) ^ 2
(x-3) ^ 2 = -27, (x-3) = sqrt (-27), x = 3 + sqrt (-27), x = 3 – sqrt (-27)
sqrt (-27) = (sqrt (-1x9x3)) = sqrt (-1) xsqrt (9) xsqrt (3) = 3i (sqrt (3))
x = 3 + 3i (sqrt (3), x = 3-3i (sqrt (3))
Så kuben rötterna till -216 är -6, 3 + 3i (sqrt (3)), 3–3i (sqrt (3))
När du hittar en rot av numret är huvudrot den rot som är närmast den positiva verkliga axeln i det komplexa planet. Om två rötter är lika avlägsna från den positiva verkliga axeln och är närmast, är roten med den positiva imaginära komponenten huvudroten. Eftersom 3 + 3i (sqrt (3)) och 3–3i ( sqrt (3)) är närmare den positiva verkliga axeln än -6 och är lika avlägsna, huvudlösningen är 3 + 3i (sqrt (3)) oavsett om -6 är en riktig lösning
Därför, den huvudsakliga kubroten till -216 är 3 + 3i (sqrt (3))
Svar
Re ”Vad är \ sqrt {216} förenklat?”, mitt primära svar skulle vara, \ sqrt {216} är redan så ”enkel” som du kan n klarar det. Det är ”det irrationella talet som, i kvadrat, ger heltalet 216”. Du kan inte bli mycket ”enklare” än så.
Nu kan det hända att vissa inte håller med och säger att man kan ”förenkla” \ sqrt {216} genom att beakta 216 till dess viktigaste faktorer. Det skulle ge dig: \ sqrt {216} \\ = \ sqrt {(2) (2) (2) (3) (3) (3)} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6} Men är de två sista formerna egentligen ”enklare”? Siffrorna är mindre, men konceptuellt är dessa uttryck, tror jag, faktiskt mer komplexa.
Så mitt svar är: \ sqrt {216} förenklat är \ sqrt {216}