Vad är kubroten till 9?

Bästa svaret

Kubroten till 9 är 2.083 ungefär

Steg 1 : Hitta först en integrerad del Svaret ligger mellan 2 och 3, orsak 9 ligger mellan 8 (2 ^ 3) och 27 (3 ^ 3) Så, den integrerade delen är 2 Steg 2: Dela 9 med kvadrat av integrerad del ( 2 ^ 2 = 4 ), vilket ger dig 2,25, subtrahera nu den integrerade delen ( 2 ) från 2,25 , vilket kommer att vara 0.25 Nu dela detta med 3, ( 0.25 / 3 = 0.08333…) Steg 3: Lägg till detta till integrerad del 2 + 0.083… = 2.083 ungefär

The faktiskt svar för ∛9 = 2.08008382305 ( hämtat från Googel )

Svar

Den upplagda frågan är, Vad är kubrot av −27? ”

Affischen har inte inkluderat i frågan vad är sammanhanget. När man diskuterar kraftfunktioner som är rötter, precis som det är fallet med många andra funktioner, definieras eller uttrycks inte funktionen helt utan ett uttalande om funktionens domän och kodomän. (Ja, i motsats till vad som är populärt att ha övningar för gymnasiestudenten för att hitta domänen för en funktion som verkligen är för att hitta maximal domän i sammanhang med verkliga tal , definitionen och användningen av en funktion är inte fullständig [och ofta, som här, helt otillräcklig] utan att specificera den avsedda domänen (vad värderar funktionen kommer att tillämpas på), kodmenyn (vilka värden funktionen får producera), och förhållandet mellan hur man övergår från element i domänen till element i kododen. Vi kommer snart att se varför dessa är viktiga.

Observera att en singular substantivform ( root istället för roots ) och motsvarande singular verbform ( är istället för är ) har använts i den upplagda frågan. är tre komplexa nummer, varav ett är verklig, vars kub är −27. Om affischen vill att domänen och kodnamnet ska vara R (reella tal), så finns det bara ett val; om affischen vill att domänen och kodnamnet ska vara C (komplexa tal), så finns det tre möjligheter som affischen uppenbarligen önskar en, som vi sedan skulle anta för att vara den huvudsakliga kubroten.

Låt oss först undersöka att ha R som domän och kodnamn. Om vi ​​definierar funktionen: f : R R så att f ( x ) = x ³, sedan mappar olika värden på x till olika värden på f ( x ) [det vill säga olika värden för x ³], vilket betyder att f är injicerande. Dessutom finns det för varje reellt tal y ett reellt tal x så att x ³ = y , vilket betyder f är förväntat. Eftersom f är både injektiv och surjektiv, är f bijektiv och inverterbar. Kubrotfunktionsmappningen R R är den inversa av f (med f kallas ibland kubfunktionen på R ). På grund av bijektivitet vet vi att kubroten är unik. Det finns bara ett värde vars kub är −27 och det talet är −3. Därför är det enda värdet som kan vara kubroten till −27 −3.

För det andra, låt oss undersöka att ha C som domänen och kodföretaget. Om vi ​​definierar funktionen: f : C C så att f ( x ) = x ³, det är inte längre sant att f är injektivt.För alla icke-noll y kommer det att finnas tre värden x som kartlägger till y . Till exempel f (−2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = −8. Eftersom f inte är injektiv, spelar det ingen roll att f är surjektiv, och f är varken bijektiv eller inverterbar. Matematiker har emellertid utvecklat ett något godtyckligt, men enkelt och konsekvent kriterium för att bestämma vilket av de tre val som utgör den huvudsakliga kubroten till ett komplext tal, och det är det värde som är avsett när vi säger ” kubroten till ”[singular form]. Processen är: * Vilket av de tre valen har den största verkliga delen? Om svaret ger ett unikt värde [det ger ett eller två värden], är det värdet kubroten. * Om svaret på den första frågan inte är unikt tar vi vilket av de två värden som erhålls i den första frågan har en positiv imaginär del. För −27 är de tre alternativen: −3, 1,5 + 1,5i√3 och 1,5 – 1,5i√3. Det finns två värden som delar rollen som den största verkliga delen: 1,5 + 1,5i√3 och 1,5 – 1,5i√3. Den som har en positiv imaginär del är 1,5 + 1,5i√3, så det är den huvudsakliga kubroten till −27 i den komplexa domänen.

Nu ser vi vikten av att specificera domänen eftersom vi hamnade med två olika svar, ett för var och en av två domäner: Kubroten av −27 i den verkliga domänen är −3. Kubroten av −27 i den komplexa domänen är 1,5 + 1,5i√3. Verkar detta konstigt? Är inte R C , så är inte det verkliga talet −27 detsamma som komplexa nummer −27? Varför skulle samma nummer inte ha samma kubrot? Konstiga saker kan hända i det komplexa planet som vi inte ens inser (förrän vi har en komplex analyskurs), men faktiskt har en inverkan även när vi fokuserar på reella tal (konvergens av kraftserier för verkliga värdefunktioner påverkas av lokalisering av singulariteter i det komplexa planet) för den komplexa förlängningen av funktionen. Kubrotfunktionen, i kombination med logaritmfunktionen ln, har i det komplexa planet det som kallas en grengren som förbinder grenpunkter vid 0 och ”oändligheten” och grenavgränsningen är konventionellt längs den negativa riktiga axeln (vi vill inte ha roligt beteende längs den positiva riktiga axeln och vill inte ha en asymmetri mellan det positiva imaginära halvplanet och det negativa imaginära halvplanet). Ett nyckelbeteende hos grenavgränsningar är en diskontinuitet – värdet på en funktion med en grenavgränsning har en bestämd övergång vid grenavgränsningen, så att värdet precis på ena sidan av grenavgränsningen och värdet precis på den andra sidan av grenavskärning närmar sig inte varandra eftersom de två punkterna närmar sig varandra. Överallt kan funktionen vara kontinuerlig. Ta till exempel en cirkel med radie 27 centrerad vid 0 i det komplexa planet. Vid värdet 27 betraktas huvudkubroten som 3. Följ cirkeln runt till −27 moturs (genom det positiva imaginära halvplanet) och kubroten kommer att förändras på ett jämnt, kontinuerligt sätt och når 1,5 + 1,5i √3 vid −27. Om du istället börjar vid 27 och följer cirkeln runt medurs (genom det negativa imaginära halvplanet) kommer kubroten att ändras igen kontinuerligt tills du når 1,5 – 1,5i√3 vid −27. De två gränserna som närmar sig samma punkt från motsatta sidor av grenavgränsningen skiljer sig åt med 3i√3, vilket inte är 0. Således är gränsen för kubrot av x funktion vid −27 beror på vägen mot −27, så gränsen existerar inte och funktionen kan inte vara kontinuerlig där. Observera att ingen av gränserna är −3, värdet på kubroten av −27 för domän R .

Som ett resultat finns det några matematiker (mestadels tyska i min begränsade erfarenhet) som inte tål en sådan ojämnhet, så de slutar betrakta kubroten av alla negativa tal att vara odefinierade i domänens sammanhang R . De flesta matematiker vill inte kalla kubroten till ett negativt tal odefinierat i sammanhanget av domänen R eftersom det skulle bryta mot begreppet en bindning som är inverterbar och invers funktion definieras på den fullständiga kodmenyn för den ursprungliga funktionen, plus de verkliga siffrorna med addition, subtraktion, multiplikation, division utom med 0, och befogenheter med heltalsexponenter beter sig snyggt och som förväntat när de är inbäddade i C . Många saker bryts ner när makter med icke-heltal exponenter är inblandade.Begränsningar av maktlagar tillämpas, för om du försöker tillämpa dem med icke-heltalsexponenter och antingen imaginära eller negativa verkliga baser, får du otäcka resultat. Många Quora-frågor rör sådana frågor. Bli inte förvånad över närvaron av dessa frågor.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *